1.1.3四种命题间的相互关系

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1、学业分层测评(建议用时：45分钟)河南省偃师高级中学赵帅锋一、选择题1.命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是(　　)A.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数B.若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数C.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数D.若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数【解析】　命题“若p，则q”的逆否

2、命题为“若﹁q，则﹁p”.“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”.【答案】　A2.命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是(　　)A.0B.1　　　　C.2　　　　D.3【解析】　逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题.逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.【答案】　C3.已知命题“若ab≤0，则a≤0或b

3、≤0”，则下列结论正确的是(　　)A.原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”B.原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”C.原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”D.原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”【解析】　逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题.否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.【答案】　B4.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)A.若a＋b＋c≠3，则a2＋

4、b2＋c2＜3B.若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C.若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D.若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【答案】　A5.命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是(　　)A.如果ab是奇数，则a，b都是奇数B.如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数C.如果a，b都是奇数，则ab不是奇数D.如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数【解析】　等价命题即为逆否命题，故选B.【答案】　B二、填空题6.命题“若x>2，则x2>4”的逆命题是____________.【解析】　原命题的逆命题为“若x2>4，则x>2”.【答案

5、】　若x2>4，则x>27.在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.其中逆命题为真命题的是________.【解析】　①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题.【答案】　②8.命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________.【解析】　命题的条件和结论都是否定形式，可以化为判断其逆否命题的真假，其逆否命题为“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题为

6、假命题，从而原命题是假命题.【答案】　假命题三、解答题9.写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.【解】　逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.原命题是假命题.逆否命题也是假命题.逆命题是假命题.否命题也是假命题.10.已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”.(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论.【解】　(1)命题p的否命题为“若ac

7、＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”.(2)命题p的否命题是真命题.证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根.∴该命题是真命题.[能力提升]1.与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是(　　)A.若a·b≠0，则a不垂直于bB.若a⊥b，则a·b＝0C.若a不垂直于b，则a·b≠0D.若a·b≠0，则a⊥b【解析】　原命题与其逆否命题为等价命题.【答案】　C2.命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是(　　)A.若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数B.若x，y不都是偶数，则x＋y是偶

8、数C.若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数D.若x，