浙江专用高考数学复习第五章三角函数解三角形专题突破三高考中的三角函数与解三角形问题讲义含解析

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1、高考专题突破三　高考中的三角函数与解三角形问题题型一　三角函数的图象和性质例1已知函数f(x)＝5sinxcosx－5cos2x＋(其中x∈R)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．解　(1)因为f(x)＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝5＝5sin，所以函数的最小正周期T＝＝π.(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为

2、(k∈Z)．(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．跟踪训练1(2018·“七彩阳光联盟”期初联考)已知f(x)＝2cos2x＋sin2x－＋1(x∈R)，求：(1)f(x)的单调递增区间；(2)当x∈时，求f(x)的值域．解　由题意得f(x)＝sin2x＋(2cos2x

3、－1)＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1.(1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈，∴f(x)∈[0,3]．故f(x)的值域为[0,3]．题型二　解三角形例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.(1)求角A和边长c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解　(1)∵sinA＋cosA＝0，∴tanA＝－，又0

4、a2＝b2＋c2－2bccosA，即28＝4＋c2－2×2c×，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4.(2)∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴16＝28＋4－2×2×2×cosC，∴cosC＝，∴CD＝＝＝，∴CD＝BC，∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×4×2×＝2，∴S△ABD＝S△ABC＝.思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．跟踪训练2(2018·浙江省第二次联盟校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin

5、B＝asinA＋(c－a)sinC.(1)求B；(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为6，求b.解　(1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cosB＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由(1)得B＝，所以△ABC的面积为acsinB＝ac＝6，得ac＝24.由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28.所以b＝2.题型三　三角函数和解三角形的综合应用例3已知在△ABC中，角

6、A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB(tanC－1)＝＋tanC.(1)求角A的大小；(2)若a＝，a≤b，求b－c的取值范围．解　(1)由tanB(tanC－1)＝＋tanC得tanB＋tanC＝(tanBtanC－1)，∴tan(B＋C)＝＝－，tanA＝，∵0

7、的范围对变形过程的影响．跟踪训练3(2018·嘉兴市教学测试)已知函数f(x)＝cos＋(sinx＋cosx)2.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝2，c＝，f＝，求b的值．解　(1)f(x)＝cos2x－sin2x＋(1＋sin2x)＝sin＋，所以f(x)的最大值为1＋，最小正周期T＝π.(2)因为f＝sin＋＝cos＋＝，所以cos＝0，又C∈(0，π)，所以C＝.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC可得b2－2b－3＝