高三-函数与方程

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1、辅导讲义学员编号:年级：高三学员姓名:辅导科目：数学学科教师:授课类型函数与方程授课日期时段教学内容1、函数零点的定义(1)对于函数y=f(x)f我们把方程f(x)=0的实数根叫做函数>=/("的零点。(2)方程/(x)=0有实根o函数y=/(x)的图像与x轴有交点u>函数y=/(x)有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程/(x)=0,所得实数根就是/(兀)的零点2、函数零点的判定(1)零点存在性定理：如果函数=/(X)在区间血切上的图象是连续不断的曲线，并且有/⑷•/0)<0,那么，函数y=f(x)在区间仏b

2、)内有零点，即存在使得/(x0)=0，这个兀0也就是方程/(x)=0的根。(2)函数y=/(x)零点个数(或方程f(x)=0实数根的个数)确定方法①代数法：函数y=/(_x)的零点Of(x)=0的根；②(儿何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数=/(X)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。(3)零点个数确定△>0oy=f(x)有2个零点of(x)=0有两个不等实根；△=0oy=f(x)有1个零点O/(x)=0有两个相等实根；△vOoy=f(x)无零点Of(x)=0无实根；对于二次函数在区间匕切上的零点个数，要结合图像进行确定.3、二分法(1)二分法的定义:对于在区间[a,h]±连

3、续不断且f(ayf(b)<0的函数y=/(x),通过不断地把函数y=/(兀)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法；(2)用二分法求方程的近似解的步骤：①确定区间［a,b］f验证f(d)-f(b)<0,给定精确度£;②求区间@上)的中点c;③计算/(c);(i)若/(c)=0,则c就是幣数的零点；(ii)若f(a)-/(c)<0,则令b=(此时零点兀()w(a,c))；(iii)若/(c)-/(^)<0,则令d=c(此时零点兀oW(c,/?))；④判断是否达到精确度£,&Va-b

4、一、专题精讲零点个数问题例1:1.函数/(x)=2v+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是【答案】1【解析】解法1：因为/(0)=1+0-2=-1,/(1)=2+23-2=8,即/(0)-f⑴<0且函数/⑴在(0,1)内连续不断，故兀)在(0,1)内的零点个数是1.解法2：设必=2“，力=2-$，在同一坐标系屮作出两函数的图像如图所示：可知零点个数为1.2.设函数/.¥)(XG/?)满足X-X—x),且当JTW［0,1］时，脸)=F.又函数g(x)=

5、兀COS(龙X)13则函数h(x)=g(x)-j(x)在［——，一］上的零点个数为【答案】6【解析】因为当"［0,1］时，7W".所以当*［1

6、,2］时，(2-x)w［0,l］作出函数70)、g(x)的大致图象，函数力⑴除了0、1这两个零点之外，分别在区间1113［-一,0］、［0,—］、［—,1］.［1,-］上各有一个零点，共有6个零点。1.函数f(x)=xcosx2在区间［0,4］上的零点个数为【答案】6【解析】：f(x)=0,则x=0或cosx2=0,x2=kn+,k^Z,又xG［0,4］,k=0,l,2,3,4,所以共有6个解.2.函数/(x)=V7-COSX在［0,+8)内有个零点。【答案】有且仅有一个零点【解析】解法一：数形结合法，令f(x)=Jx-cosx=0,则Vx=cosx,设函数y=4x和y=cosx,它们在［0

7、,+oo)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数f(X)=y/x~COSX在［0,+oo)内有且仅有一个零点；解法二：在XG[―,+oo)±,>/x>1,COS兀51,所以f(X)=>fx-COSX>0;在疋(0,勻，fu)=—U+sinx>0,所以函数f(x)=^-cosx是增函数，又因为/(0)=-1,22/x/(—)=J—>0,所以/(X)=Vx-cosXffixG[0,—]±有且只有一个零点.1y221.函数=兀一3,虫0,零点个数为[-2+Inx,x>0答案：2分析：利用函数的相关性质画出图形，易得函数的零点为2个。零点取值范圉例2：1.函数J(x)=r+3x

8、的零点所在的一个区间是【答案】(-1,0)【解析1Vy(-l)=2_1+3x(-l)=-

9、<0,./(0)=2°+0=1>0,•YA—1)夬0)<0.・・・fix)=2x+3x的零点所在的-一个区间为(-1,0).2.已知函数f(x)=logaX+x-b(d>0,且aHl).当2