高三-函数与方程-

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1、辅导讲义学员编号：年级：课时数:学员姓名：辅导科目：学科教师:授课类型(同步知识主题)(专题方法主题)(学法与能力主题)授课日期及时段教学内容⑥同步••Yj>•1函数与方程同步知识梳理：1.函数零点的定义：对于函数y=f(x),把使函数的实数x称为函数y=f(x)的零点.2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=O的，也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的.所以，函数y=f(x)有实根等价于函数y=f(x)的图像与x轴有也等价于函数y=f(x)有.3.函数与方程中的交点、零点与根的问题主要是通过思想与

2、思想进行体现和解决的，注意这两种数学思想的巧妙结合.答案：1.f(x)=O.2.实数根，横坐标，交点，零点.3.函数与方程，数形结合.◎思维升华：1.在求解函数解析式时，是否可从方程的角度来求解，例如，已知/(x)+2/(-兀)=3兀-2,求/(X)的解析式？2.已知函数y=f{x)在区间[a,饲上是连续不断的曲线：①若/S)：/(b)VO,则在区I'可(a,b)内函数y=j{x)有且仅有一个零点；②若/(°)呎仍>0,则在区间方)内函数y=f3没有零点；③若在区间(q,b)内函数y=f{x)有零点，则必

3、有AayAb)<0；④若.@)呎〃)三0,则在区间(曰，方)内函数y=f(x)有零点；⑤若弘)呎6)<0,则在区间切内函数y=f(x)有零点。上述语句中，正确的是.答案：1.把—X代入上式可得，/(—x)+2/(x)=-3兀—2,把/(兀)、/(—兀)作为未知数來求解，可得/(兀)=_3兀一§2.⑤理由如下：对于①，若<0,则在区间(q,b)内，函数夕=/(x)可能不止一个零点；对于②，若>0,则在区I'可(a,/?)内，函数y=f[x)可能没有零点，也可能有一个或一个以上的零点；对于③，若在区间&方)内

4、函数尹=/(x)有零点，也未必有/(%)<0,可能有@)金)>0；对于④，注意端点问题，可能a,b恰好使得比)=0；对于⑤,若./(G)7(b)vo,贝!

5、在区间(日,方)内函数y=fx)必定有零点.(1)几个等价关系方程=0有实数根Q函数y=Kx)的图彖与才轴有交点。函数y=f^有零点.(2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=fU在区间［日，力］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有血)位)<0,那么，函数y=f{x)在区间(a,Q内有零点，即存在cE(q,b),使得.Ac)=0,这个c也就是

6、方程/(x)=0的根.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)零点的分布根的分布(m0b”—亍7"2a7（加）>om0b0X0bX加）>00moMo只有…根在(加，”)之间4也足/兀V2=0b或/H<—2^<77•<0二、专题精讲题型一求函数的零点例1.求下列函数的零点:(l)y

7、=x3-7x+6；(2)y=x3.分析：根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数是求相应方程的实数.解析(1)r=fM的零点，就x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+l)(x-l)-6(x-1)=(x-l)(x2+x-6)=(x-l)(x-2)(x+3),解x3-7x+6=0,BP(x-1)(x-2)(x+3)=0,nJ得xi=・3,X2=1,X3=2.函数y=x'・7x+6的零点为-3,1,2.⑵・・・x+Z—3=X、％+2=(x_l)S_2).解2_3=o

8、,即(x_l)(x_2)可得％=】或函数y=x+1.3的零点为1,2.点评：错误理解函数零点定义，认为零点为点•例如在例中，常见把结论写成(2,0)、(1,0)等.求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，对于不能借助求根公式或因式分解求解的，也可能用二分法来求解，从而得到函数的零点・・变式训练1：求下列函数的零点：(1)f(x)=x4-1；(2)/(x)=x3-3x2-2x+6.解析：(1)/(x)=x4-1=(x2+1)(%+1)(%-1),令/(X)=0

9、得x=l,-1,故原函数的零点为1,-1；(2)f(x)=x2(x-3)-2(兀_3)=(兀_3)(兀2_2)=(兀_3Xx_Q)(兀+血)，令/(x)=0^x=3,V2,-/2,故原函数的零点为3,V2厂近.变式训练2：函数f(x)=x2+2x—3,xWO函数零点的个数Of(x)=0解的个数O函数图象与x轴交点的个数.解析法一由f(x)=O得x2+2x—3=0因此函数f(x)共有两个零点.法二函数f(x)的图象如图所示可观