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《中考数学复习指导：利用抛物线的对称性解题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用抛物线的对称性解题二次函数y=ax?+bx+c的图象是关于直线x=-—成轴对称的图形，利用抛物线的2a对称性解题也是屮考的热点2—，现分类例析如下，供教学参考.一、求顶点坐标例1二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：X•••-3-2-101•••y•••-3-2-3■6-1•••该函数图象的顶点坐标为()(A)(-3,一3)(B)(-2,-2)(C)(—1,—3)(D)(0,—6)解观察表中当x=—3或一1吋，y=—3,由抛物线的对称性，对称轴为直线x=-2,故顶点坐标为(一2,-2),所以应选B.点评本题是用表格给出二次函数y=ax?+bx+c的信息，观
2、察出当x=—3或一1时,y=—3,是解题的关键.二、判断点在图象上例2若二次函数y=ax?的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点()(A)(2,4)(B)(-2,-4)(C)(-4,2)(D)(4,-2)解由二次函数y=ax?的对称轴为y轴，又P(-2,4)关于y轴的对称点为(2,4),所以应选A.点评本题二次函数y=ax?的对称轴为y轴是解题的突破口，根据抛物线的对称性，从而P(-2,4)关于y轴的对称点在二次函数『=&*2的图象上.三、比较大小例3设A(-2,y)B(l,y2),C(2,y?)是抛物线y=—(x+l^+m上的三点，则yi，y2»y3的大小关系为()(A
3、)yi>y2>y3(B)yi>y3>y2(C)y3>y2>yi(D)y2>yi>y3解方法1把A、B、C三点的坐标分别代人y=—(x+lF+m,得yi=—1+m,y2=—4+m,y3=—9+m,所以y】>y2>y3・方法2・・•函数的解析式是y=—(x+l^+a,如图1,・••对称轴是x=—l,・•・点A关于对称轴的点A，是(0,yD，那么点AlB、C都在对称轴的右边，而对称轴右边，随x的增大而减小，于是y】>y2>y3，故选A.点评代入法是比较函数值大小的一种常用方法；数形结合法，当抛物线开口向下的时候离对称轴越近，对应的函数值越大，当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，对应的
4、函数值越小.四、求与X轴交点坐标例4如图2,二次函数y=ax?+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=l,图象经过(3,0),下列结论中，正确的是()(A)abc<0(B)2a+b<0(C)a-b+c<0(D)4ac-b2<0解(A)根据图2知，抛物线开口方向向上，则a>0.抛物线的对称轴x=—£=l>0,则b<0.抛物线与y轴交于负半轴，则cvO,所以abc>0.故本选项错误.(A)Vx=-—=1,・・・b=—2a,・・・2a+b=0.故本选项错误.2a(B)对称轴为直线x=l,图象经过(3,O),・•・该抛物线与X轴的另一交点的坐标是(一1,0),・••当x=—l时，y=
5、0,即a—b+c=O.故本选项错误.(C)根据图2知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则=b2-4ac>0,则4ac~b2<0.故木选项止确.故选D.点评本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax?+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与)，轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，选项C中求抛物线x轴的另一交点，要妙用其对称性.五、求不等式的解集例5如图3是二次函数y=ax?+bx+c的部分图象，由图彖可知不等式ax2+bx+c<0的解集是()(A)—15(C)x<—1,且x>5(D)x<—1,或x>5解由二次函数的对称性，已知了对称轴直线x
6、=2和与x轴的一个交点坐标(5,0)即可得出另一个交点坐标(T，0)；再由不等式ax2+bx+c<0的解集即得x取值范围，故选D.图3点评本题主要考查了函数图象与不等式之间的关系，利用数形结合思想不难选出D选项，但木题如果对数形结合思想的不理解或不能熟练运用，有可能会采取代入对称轴直线及与X轴交点坐标的方法运算，则比较繁琐.六.求抛物线解析式例6如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(l,0),B(3,0),且过点C(0,—3).⑴求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=—x上，并写出平移后抛物线的解析式.y0!/
7、'cl[图4解(1)方法1把点"(1,0),8(3,0)-3)分别代入y=ax+bx+c,得r°=a+b+c,ra=-1,9a+3b+c,解之，得6=4,'-3=c.•c=一3,•••抛物线解析式为y=-x2+4x-3.*.*y--x+4%-3-2)2+1,•・•・顶点坐标(2,1).方法2•••抛物线与兀轴交于点4(1,0),〃(3,0),抛物线的对称轴为直线九=2,・•・可设抛物线解析式为y-a(x-2)2+k.把点4(l,0),C(0,-3)分别代入y=a(x-2)2+A：,得•(
