中考数学教学指导：对初中数学解题活动中创新思维的探究

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1、对初中数学解题活动中创新思维的探究我们知道，解题是数学学习中最基本的活动，在解题中离不开数学思想的指导，我们究竟蛊要什么样的数学思想?是按部就班的?还是创新的?本文提供“尺格作图”问题的另类解法，以期说明解题活动与创新思维的关系.一、问题背景：例1.如图1,将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,点B,点C均落在格点上.⑴略；(2)请在图1所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以43为一边的矩形，使该矩形的而积等于AC2+BC2,并简要说明画图方法(不要求证明).图1二、解决问题(1)点在哪里?一思维指引活动分析首先

2、解决其中一个顶点的位置问题，如图2,所求的矩形的一个顶点在AD上.经计算边长AP17使得力+财"AB(2)怎么找点?一活动中体现思维我们这样思考:点P是由两条线段相交而成的，如果能找到这样两条直线，意味着点P也就找到了，但过点P的直线有很多，什么样的才是我们需要的?过点P、且过图屮格点的直线(下面把过格点的直线称为“格点直线”)是我们需要的.这样，反过来把这样两条直线相交，就可得到点P.也就是说在这个格点图区域内寻找两个格点与点P共线!1144建立如图2所示的坐标系，求得P(刁市).设曲),(讪,其中讪心为整数,且一2

3、6,-5<5(题目中图面的大小决定a.b.m.n的大小，否则无法作图).44n,17_b_n1117=

4、(三点共线公式，且该直线与平行),17n+4417m-llb-na-m化简得即点(-1,-3),(3,-2)所在的格点直线MN与4D的交点为所求的点P!本题的作图方法是:作点(-1,-3),(3,-2),连结并交于一点P,交BE于一点Q,则点P,Q为所求的两个顶点.这道题的基本过程分两个层次:基本思想是点在哪里?怎么去找?对应的基本活动是求长度，定坐标，求不定方程的整数解.从中可以体会到思维与活动的关系.例2•如图3,在每个小

5、正方形的边长为1的网格屮，点A,B,D均在格点上，点分别为线段BC,DB上的动点，且BE=DF・⑴略；(2)当AE+AF取得最小值时，请在网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE^AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的(不耍求证明)图3分析⑴点在哪里?一思维引领活动如图4,首先确定E点.设BE=DF=x,I3片zly则AE=Vx2+32,GF=%sin乙BAD=—.DG=xcosZBDA=—tAG+=AfT（亏）+（4-了）=卄+学AE+AF=Vx2+32F+（¥）。（“将军饮马”的代数形式，也是闵可夫斯基不等式的二维形式）21

6、C仅当一-—=1乂」］6x5的坐标是（3,#）,吉即x=—时，AE+AF有最小值.也就是说我们确定了待求点E,Fy（16116）‘15’45八4321cE-3-2-101234图4（2）怎么找点?一活动中体现思维首先确定点E,由于受题日中图面的大小限制，点E的确定采用设置“中间点”的方式，分以下两步完成.第一步:确定“中间点”如图5,设（如）,（一2力）（3,罟）三点共线，其屮心为整数，且-4于是，有一=

7、上仝m-3-2-m[m=4令｛9，[n=2a=-2则存在（2,b=—3即(4,2),(-2,

8、),(3,—)三点共线，下一步确定(-2,-).第二步:运用“中间点”2设(一2，一),(m,n).(a.b)三点共线，其中a.b.m.n为整数，且3-4

9、到点(一2,—);2第二步涟结(4,2),(-2,—)交3C于一点E，则点E为所求.点F的作法，同样采用设置“中间点”的方式，分两步完成，如图6所示./a5图6第一步:确定“中间点”，设(m,A2),(5,/?),(—,—)三点共线，其中加/为整数，且1545-4

10、,b)三点共线，其中a,b,m,n为整数，且7-4