浅谈数形结合思想（终稿）

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1、浅谈数形结合思想【摘要】本文主要介绍怎样应用数形结合来解决一些数学问题，及其应注意的事项。f关键词】数形结合；数形结合思想；以形助数；以数解形中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合白般好,隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形Z间的一一对应关系。数形结合就是把抽彖的数学语言、数量关系与直观的儿何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单

2、化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致乂可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的儿何直观性来阐明数Z间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律來，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到的效果。rh于这“以数解形”比鮫简单，所以这里就不多做介绍了。“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为立观的图形，可避免繁杂的计

3、算，获得出奇制胜的解法。学生通常把“数形结合”就理解为“以形助数”，也可以这么说，理解了并掌握了“以形助数”这种思想方法，就是理解了“数形结合”。“以形助数”中的“形”,或有形或无形。若有形，贝何为图表■模型，若无形，则可另行构造或联想。因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的儿何意义。以下我将从“数形结合”在哪些题型中可以应用和使用“数形结合”时要注意哪些事项这两个方面来具体介绍数形结合这种思想方法。1.数形结合思想的应用1.1在方程、函数问题中的应用方程f(x)-g(x)=0的解情况,可化为f(x)=g(x)的解情况，也

4、可看作函数y=f(x)Ly二g(x)图像的交点的横处标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有儿个交点，及交点大致的位置或处标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。对于计算题，我们也可以川数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以川来检查自己到底佇没有做错。例1抛物线J=ax2+/?X+C与X轴的两个交点为A、B,点Q（4,8k）在抛物线上且AQ丄BQ,则亦=（）A、一lB、1C、2D、3分析这样的题目，用常规的解法很难找到突破口。如图1-1所示：我们不难发现，不论函数图像开口向

5、上还是向下，a,k总是异号的，即看看各个备选项，不难发现只有A表示的是小于0的。故本题选（A）0例2方稈lgx=3（兀+3）（兀+1）（兀-1）（兀-3）的实数根个数有（）A、1B、2C、3D、4分析直接去解这个方程，对于中学学牛来说是不可能的事。判断原方程的根的个数就是判断图像yy图IT图1-3y=lgx与y=3（兀+3）（x+1）（兀一1）（兀一3）的交点个数，画出这两个函数图像（图1-2）,从图形中我们很明显地知道这两个图像只有两个交点，故本题选（B）。例3若关于x的方程/（兀）+F+2kx-3k的两根都在1与3之间，求k的取值范围？分析令f（x）+x2+2

6、kx-3k,如图1-3所示，其图像与x轴交点的横处标就是方程f（x）=O的解,要使两根都在1,3之间,只需f（l）>0,f（3）>0,-bf（_^）=/（-jt）<0,l<-k<3同时成立，解得—3

7、三是两根分别在某个区间内，则要满足每个区间两端点的函数值异号就行；四是两根在某个数的一侧，贝I」、要满足其对称轴在这个数的所要的一侧，这个数的函数值与其顶点处标的纵处标异号就行；五是两根在某个区间Z外即两侧，贝I」、要满足这个区间两端点的函数值与&的乘积都小于o就行。当然了，这里只考虑到开区间，耍是遇到闭区间或半开半闭区间时，区间的端点要另外再讨论。1.2在最值问题中的应用最值问题，一般就是求某个代数式或函数的最大值或最小值了，当然有些题目是可以借助丁1重要不等式等知识直接解决的，但有些题廿用这些方法都比较复杂，而II计算量很大。这时我们就要换一种方法来考虑问题了

8、，不要思、