2019_2020学年高中数学课时达标训练三正余弦定理在实际问题中的应用含解析新人教A版必修

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1、课时达标训练(三)　正、余弦定理在实际问题中的计算[即时达标对点练]题组1　测量距离问题1．甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　)A．6km　　　　　　B．3kmC．3kmD．3km解析：选C　由题意知，AB＝24×＝6km，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS＝＝＝3.2．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝

2、30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为________m.解析：在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝120(m)．如图，作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．由正弦定理得＝，即＝，∴CD＝60(m)．∴河的宽度为60m.答案：603.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点

3、Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tanθ＝2，求两发射塔顶A，B8之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，∴BQ＝100，cosθ＝.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100)2，∴BA＝100.故两发射塔项A，B之间的距离是100米．题组2　测量高度问题4．设甲、乙

4、两楼相距10m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的仰角为30°，则甲、乙两楼的高分别是(　　)A.m，mB．10m,20mC．10(－)m,20mD．10m，m解析：选D　设甲、乙两楼分别为AB，CD，如图，由题意可知BC＝10，∠ACB＝60°，∠DAE＝30°.∵tan∠ACB＝＝，∴AB＝10.由AE＝BC＝10，tan∠DAE＝＝，得DE＝，∴CD＝CE＋DE＝AB＋DE＝.故选D.5.在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为(　　

5、)A．200m　　B．300m　　C．400m　　D．100m解析：选B　法一：如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600，BC＝DC＝200.8在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝＝，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200×＝300，故选B.法二：由于△BCD是等腰三角形，BD＝DC·cos2θ，即300＝200cos2θ.cos2θ＝，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200×＝300，故选B.6．如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与

6、塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.解：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．题组三　测量角度问题7.如图所示，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平

7、面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．75°8解析：选B　依题意可得AD＝20m，AC＝30m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.8．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖D的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖D的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.解析：如图所示，在Rt△ACD中，∵AC＝10，∠DAC＝

8、45°，∴DC＝10.在Rt△DCB中，∵∠DBC＝30°，∴BC