初三开放探究型问题教师版

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1、开放探究型问题【例1】.在等边MBC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为ABC外一点，且ZMDN=60ZBDC=120°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AAMN的周长Q与等边MBC的周长L的关系.图3图1图2（I）如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是:此时2二:L（II）如图2,点M、N边AB、AC上，且当DMHDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;（III）如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=X,则Q二（用兀、L表示）.解：（I）

2、如图1,bm、nc、mnZ间的数量关系BM+NC二MN此时0-=-.L3（II）猜想：结论仍然成立.证明：如图，延长AC至E,使CE=BM,连接DE.・.・BD=CD，且ZBDC=120°.ZDBC=ZDCB=30°.乂AABC是等边三角形，ZMBD=ZNCD=90°.在MBD与AECD中：BM=CE

3、AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB而等边MBC的周长L=3AB.Q-2AB-2'L~3AB一3•(III)如图3,当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=X,2一则Q二2X+—L(用X、L表不).一3一【例2】.已知：如图，直线儿y=-x+bf经过点M(0丄)，一组抛物线的顶点■34恥,必),B2(2,)‘，2),B©儿)，…，B“(n,yn)(川为正整数)依次是直线/上的点,这组抛物线与兀轴正半轴的交点依次是:Ai(xn0),A2(x2,0),A3(x3,0),An+i(Xn+i,0)(〃为正整数),设X]=d(0vdvl)・(1)求b的值；

4、(1)求经过点人、BP心的抛物线的解析式(用含d的代数式表示)（3）定义：若抛物线的顶点与尢轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为:“美丽抛物线”.117Vi=—X1+—二——3412b=—4(2)由(1)得y二—x+—,、:在直线I上,・••当x=l时,347：•Bi(lz—)12XVAJ^O)A2(2-d,0)77设y=a(x-d)(x-2+d)jnB】(违)代入得:心丽〒（或写出顶点式为汁而市(x-1)?+厶12・••过A】、Bi、A?三点的抛物线解析式为y=］2（d］）2（x〈）（x・2+d）⑶存在美丽抛物线。由抛物线的对称性可知，所构成的氏角三介形必定是以抛物线为顶

5、点为自角顶点的等腰肓介三角形,此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又・・・Ovdvl,・・・等腰直角三角形斜边的长小于2,・••等腰直角三介形斜边上的高必小于1,即抛物线的顶点的纵坐标必小于1=117：•当x=l时，yi=—X1+—=—<1;2412当x=2时，y2=—X2+—=—<13412当x=3时,y2=-X3+-=l->1344・••美丽抛物线的顶点只有B1B2.①若B］为顶点,7由Bd违),则d4712②若B?为顶点,由B2(2z—),则d=l-(2)—1=—12L12」12综上所述，d的值为丄或耳时，存在美丽抛物线。1212【例3】矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A

6、、C两点的坐标分别为A(6,0)、C(0,3),3直线y=与BC边相交于点D.4(1)若抛物线y=经过£)、A两点，试确定此抛物线的表达式；⑵若以点A为圆心的。A与直线0D相切，试求OA的半径；⑶设⑴中抛物线的对称轴与直线0D交于点M,在对称轴上是否存在点0,以0、0、M为顶点的三角形与CDW似，若存在，试求出符合条件的Q点的处标；若不存在，试说明理由.答案:y=3(1)解3得D点的朋标为D(4,3)3抛物线y=ax2+bx经过D(4,3)、A(6,0),可得y=--x2⑵TCM,0C=3,00=7^77=5.sinZCDO=

7、.过A作AH丄0D于H,318•••当直线0D与OA相切时,

8、r=3.6.8分贝ljAH=OAsinZDOA二6X—二——=3.6,55(3)设抛物线的対称轴与兀轴交于点Q】，则点Q

9、符合条件.・・・CB〃OA,・・・ZQ

10、0M二ZODC,・・・RtZQ

11、OMsRt^CDO.•・•对称轴X=—2=3,・・・Q

12、点的坐标为Q

13、(3,0)・2a又过0作0D的垂线交抛物线的对称轴于点Q2,则点02也符合条件.・・•对称轴平行于y轴，.ZQ2MO=ZDOC,AR