二次函数的表达式及其性质易错点剖析

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1、二次函数常见错解示例一、忽略二次项系数不等于0例1已知二次函数y=2-6兀+3的图象与x轴有交点,则斤的取值范围是()(A)k<3(B)k<3且k^0(C)kW3(D)g且k^0错解:选C・由题意,得4二(-6)2—4你3$0,解得kW3,故选C.错解分析:当A=0时,二次项系数为0,此时原函数不是二次函数•欲求〃的取值范围,须同时满足:①函数是二次丙数;②图象与x轴有交点,上面的解法只注重了420而忽略了二次项系数不等于0的条件.正解:选【)・由题意,得4二(-6)2—4&X320且kH0,即kW3且&HO,故应选D.二、忽略隐含条件例2如图,已知二次函数y二/+加+c的图象与y轴

2、交于点A,与X轴正半轴交于B,C两点,且BC=2,S沁=3,则b的值为()(A)-5(B)4或-4(C)4(D)~4错解:选B.依题意BC=2,=3,得点A(0,3),即c=3•乂BC=2,得方程兀2+加+—o的两根之差为2,故J—=2,解得戻±4.故选B.22错解分析:上面的解法忽略了“抛物线的对称轴S在y轴的右侧”这一2隐含条件,止确的解法应是同时考虑-纟>0,得力<0,・・・戻4应舍去,故应选D.2正解:选D.例3若y关于x的函数产(日-2)(2旷1)x+臼的图象与坐标轴有两个交点,则日可取的值是多少?错解:因为函数尸(旷2)#-(2犷l)x+日的图象与坐标轴有两个交点,而其中

3、与y轴有一个交点(0,臼),则与x轴就只有一个交点,所以关于x的一元二次方程产(旷2)#-(2旷1)对日有两个相等的实数根,所以判别式[-(2旷1)]2-4X(a~2)a-0,解得日二-丄.4错解分析:本题关于函数的描述是“y关于x的函数”,并没有指明是二次函数,所以需要分“y关于x的一次函数”和“y关于x的二次函数”两种情况进行讨论.正解:当函数y是关于x的一次函数时,沪2,函数的解析式为产-3対2,函数图象与y轴的交点坐标为(0,2),与x轴的交点坐标为(

4、,0).所以沪2符合题-、兀>2、•当函数y是关于x的二次函数时,函数y=(a-2)/-(2a-l)x^a的图象与尸轴有一个

5、交点(0,3),与坐标轴共有两个交点,所以与x轴只有一个交点,则关于x的一元二次方程尸(犷2)#-(2旷1)科2有两个相等的实数根,所以判别式△二[-(2旷1)]4X(旷2)沪0,解得a-~—.4而当日二0时,与y轴的交点为原点,此时,y=-2#+x与x轴还有一个交点(-,0).2综上可得5=2或<3=0或a=~-.四、忽略数形结合思想方法的应用例4求二次函数y=x2+4%+5(-3W/W0)的最大值和最小值.错解:当尸-3时,产2;当尸0时,y=5;所以,-3WxW0Eht,y最小二2,*大二5.错解分析:上面的解法错在忽略了数形结合思想方法的应用,误以为端点的值就是这段函数的最值

6、•解决此类问题,画出函数图象,借助图象的直观性求解即可.正解:Vx2+4^+5=(x+2)2+1,二对称轴是直线尸-2,顶点坐标是(-2,1),画出大致的图象,如图是抛物线位于-3WxW0的一段,显然图象上最高点是C,最低点是顶点B而不是端点A,所以当-3Wa<0时,y最大值为5,y最小值为1.五、求顶点坐标时混淆符号例5求二次函数产-#+2犷2的顶点坐标.错解1用配方法y=~x+2x~2=~(x~2x)~2=-(%-2%+1-1)-2二-(#-2对1)-1二-(xT)2-1所以二次函数尸-#+2尸2的顶点坐标为(-1,-1).错解2用公式法在二次函数y=-x+2x~2中,5=-1,

7、b=2,c二-2,贝I」JL=2__],X-=2?_4x(_l)x(_2[}、2a2x(-1)'4a~2x(-1)-所以二次函数尸-#+2『2的顶点坐标为(-1,1)・错解分析:二次函数尸aHP的顶点坐标为(力,&),即横坐标与配方后完全平方式中的常数项互为相反数,而非相等,也就是说不是(-力,力・二次函数.尸界+加+c@HO)的顶点坐标为(-2,=竺),横坐标前面带“-”,纵坐标的2a4a分子为4日b厲不要与一元二次方程根的判别式养4死混淆•另外,把一般式转化为顶点式,常用配方法,如果二次项系数是1,则常数项为一次项系数一半的平方;如果二次项系数不是1,则先提出二次项系数(注意:不

8、能像解方程一样把二次项系数消去),使括号中的二次项系数变为1,再对括号中进行配方.正解:(1)用配方法产-#+2尸2二-(/-])2-1所以二次函数尸-#+2x-2的顶点坐标为(1,-1).(2)用公式法-£2

9、4ac-b24x(—1)x(—2>22t——1MM

10、~2x(-1)—'4a~2x(-1)-所以二次函数y=-xz+2x~2的顶点坐标为(1,-1)・六、忽视根的判别式的作用例6已知抛物线产-丄#+(6-J产)x+/zr3与x轴有两个交点力,〃,且昇

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