剖析思维障碍__构建基本策略——兼谈数列不等式的证明东莞四中_万岳

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1、剖析思维障碍构建基本策略——兼谈数列不等式的证明万岳（广东省东莞市第四高级中学）邮箱:dgwany@126.comTel:13316677025【内容摘要】本文通过分析学生在数列不等式证明问题上存在的思维障碍，总结方法,沉淀思维；系统优化，突破障碍；制定策略，整体驾驭.构建数列不等式证明的三大基本策略一一数学归纳法策略，函数单调性策略和放缩法策略，以期帮助学生突破数列不等式证明的思维瓶颈，达到高效教学的目标.【关键词】剖析思维障碍构建基本策略数列不等式数列不等式的证明是历年高考试题重点和热点，也是学生较难突破的内容之一.通过调查、分析学生在处理数列与不等

2、式证明时存在的思维障碍，反思教学教法，结合高考试题进行实例分析总结，剖析思维障碍，系统优化方法，扫除思维障碍，总结并构建数列不等式证明的三人基本策略，即数学归纳法策略，函数单调性策略，放缩策略.1数列不等式证明的思维障碍通过调查、与学生座谈，结合学生的作业和测试卷分析，学生在数列与不等式证明方而存在以下学习障碍.1.1认知能力障碍在数列不等式证明试题中，推理变形对学牛能力耍求很高，这种认知能力方面的障碍是难以有效突破数列不等式证明的重要因素•例如学牛对形如“时的裂项较熟练,而对形呱的裂项变形却是较难突破的认知障碍.归根结底是对数列结构特征及数列裂项的基木

3、要求没有吃透.1.2方法选择障碍数列不等式的证明因其知识背景和试题载体广，使其具有灵活性，多样性，复杂性的特点，这在一定程度上增加了学牛的“思维负拟”；学牛即便拿握了一些证明方法和证明技巧,但是有些试题却存在证明思路单一，入口窄的情形，导致学牛方法选择不适用，因而不能有效解决问题.1.3证明方向障碍事实上，不等式的证明还存在证明方向控制的问题，如有些试题需要先求和再用放缩法证明，有些题则需要经历“放缩——求和一一放缩”的推理过程；在放縮时，“放縮到什么程度把握不准”，造成证明方向的选择上出现错误.如2012年高考广东卷理科19题（2）1113数列通项公式

4、心=3”-2"；（3）证明：对一切正整数”，^―+—+•••+—<-；分析4an2此题结论知，应该将色缩小成一个新变量，结合通项的结构特点，明确此题的变形方向应为：^=3n-2n=2^(

5、r-lj:再结合指数函数的单调性知识得，当心2时，a=2n((-y-｝>T,从而得丄<丄；在教学过程中，可让学生尝试变形为I2)an2“(2A11g”=3T-(兰)”v3",得到丄〉丄，这与不等式的证明方向相悖.两者对照，辅以反思,I3丿化3”至此证明的方向性障碍得以清除.引导学生逆向推理，逆向思考，明确证明方向.1.4知识应用障碍数列与不等式是中学数学中较难学习的两

6、人模块，其综合应川更加大了学习难度，学生棊础知识拿握不牢或基本技能不佳都会形成知识应川方面的障碍.如2012年高考广东卷理1113科19题：(3)证明：对一切正整数〃，此题直接川放缩法易出5°22(3、错，如心=2”(-)n-l>2"成立的前提条件是“当且仅当n22”；否则当n=l时，67,=1,、2>显然不能满足上述不等关系，因此在证明时，要对通项％分段讨论，这种综合运川知识的障碍同样大量存在.上述存在的种种知识、方法、技巧、思维方血的障碍都需耍教师引领解决，在学牛思维的故近发展区，于细微处剖析，扫淸并破除思维障碍，为顺利止确解决问题打好坚实的基础.2

7、数列不等式证明的基本策略基于学生存在的上述学习和思维方面的种种障碍，在分析总结的基础上，构建数列不等式证明的基本策略.以部分高考试题为例分析说明数列不等式证明的基本策略.2.1数学归纳法策略数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的常用方法，数列不等式的证明可考虑用数学归纳法.例1(2012年高考全国大纲卷理22题)函数f(x)=x2-2x-3,定义数列｛%｝如下:可=2,£+］是过两点P(4,5),0“(£,心))的直线P0与x轴交点的横坐标.(1)证明：2

8、即单调性问4y—3题.由已知条件容易求得数列的递推关系式兀曲=竺」，问题(1)的证明突破口应选在乙+2何处?思路：用数学归纳法证明2

9、V3；再用作差法证明£<如・因为G_兀=7+以兀_3)，山于用数学归纳法己经证明了25心<3,从而易知,心+1一xk-（耳+1）（心-3）二0心+2综上，対任意止整数n,都有2

10、x-x(O<%