剖析思维障碍构建基本策略

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1、剖析思维障碍构建基本策略——兼谈数列不等式的证明万岳（广东省东莞市第四高级中学）邮箱：dgwany@126.comTel：13316677025【内容摘要】　本文通过分析学生在数列不等式证明问题上存在的思维障碍，总结方法，沉淀思维；系统优化，突破障碍；制定策略，整体驾驭．构建数列不等式证明的三大基本策略——数学归纳法策略，函数单调性策略和放缩法策略，以期帮助学生突破数列不等式证明的思维瓶颈，达到高效教学的目标．【关键词】　剖析思维障碍构建基本策略数列不等式数列不等式的证明是历年高考试题重点和热点，也是学生较难突破的

2、内容之一．通过调查、分析学生在处理数列与不等式证明时存在的思维障碍，反思教学教法，结合高考试题进行实例分析总结，剖析思维障碍，系统优化方法，扫除思维障碍，总结并构建数列不等式证明的三大基本策略，即数学归纳法策略，函数单调性策略，放缩策略．1数列不等式证明的思维障碍通过调查、与学生座谈，结合学生的作业和测试卷分析，学生在数列与不等式证明方面存在以下学习障碍．1.1认知能力障碍在数列不等式证明试题中，推理变形对学生能力要求很高，这种认知能力方面的障碍是难以有效突破数列不等式证明的重要因素．例如，学生对形如的裂项较熟练，

3、而对形如的裂项变形却是较难突破的认知障碍．归根结底是对数列结构特征及数列裂项的基本要求没有吃透．1.2方法选择障碍数列不等式的证明因其知识背景和试题载体广，使其具有灵活性，多样性，复杂性的特点，这在一定程度上增加了学生的“思维负担”；学生即便掌握了一些证明方法和证明技巧，但是有些试题却存在证明思路单一，入口窄的情形，导致学生方法选择不适用，因而不能有效解决问题．1.3证明方向障碍事实上，不等式的证明还存在证明方向控制的问题，如有些试题需要先求和再用放缩法证明，有些题则需要经历“放缩——求和——放缩”的推理过程；在放

4、缩时，“放缩到什么程度把握不准”，造成证明方向的选择上出现错误．如2012年高考广东卷理科19题：（2）数列通项公式；（3）证明：对一切正整数，有；分析此题结论知，应该将缩小成一个新变量，结合通项的结构特点，明确此题的变形方向应为：；再结合指数函数的单调性知识得，当n≥2时，，从而得；在教学过程中，可让学生尝试变形为，得到，这与不等式的证明方向相悖．两者对照，辅以反思，至此证明的方向性障碍得以清除．引导学生逆向推理，逆向思考，明确证明方向．1.4知识应用障碍数列与不等式是中学数学中较难学习的两大模块，其综合应用更加

5、大了学习难度，学生基础知识掌握不牢或基本技能不佳都会形成知识应用方面的障碍．如2012年高考广东卷理科19题：（3）证明：对一切正整数，有；此题直接用放缩法易出错，如成立的前提条件是“当且仅当n≥2”；否则，当n=1时，，显然不能满足上述不等关系，因此在证明时，要对通项分段讨论，这种综合运用知识的障碍同样大量存在．上述存在的种种知识、方法、技巧、思维方面的障碍都需要教师引领解决，在学生思维的最近发展区，于细微处剖析，扫清并破除思维障碍，为顺利正确解决问题打好坚实的基础．2数列不等式证明的基本策略基于学生存在的上述学

6、习和思维方面的种种障碍，在分析总结的基础上，构建数列不等式证明的基本策略．以部分高考试题为例分析说明数列不等式证明的基本策略．2.1数学归纳法策略数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的常用方法，数列不等式的证明可考虑用数学归纳法．例1（2012年高考全国大纲卷理22题）函数定义数列如下：是过两点P(4，5)，的直线与x轴交点的横坐标．（1）证明：；（2）略．分析：第（1）问数列不等式组的证明涉及数列的项的取值范围及项的大小即单调性问题．由已知条件容易求得数列的递推关系式，问题（1）的证明突破口应选在何处？思路：用

7、数学归纳法证明，可得；再用作差法证明．因为，由于用数学归纳法已经证明了，从而易知，，综上，对任意正整数n，都有．从而得证．反思：此题如果试图先证明，则将陷于尴尬境地，因为作差变形后，无法确定的取值范围，从而无法确定多项式的符号．根据题设条件应用数学归纳法证明是很自然的思路；类似试题如，已知．（1）试判断的单调性并说明理由；（2）数列满足，求证：．2.2　函数单调性策略数列是定义域为正整数的离散型函数，仍然具有函数的一些基本性质，如单调性，有界性等．所以数列不等式的证明可以利用函数的单调性知识解决．例2（2009年高

8、考广东卷理21题）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（１）求数列的通项公式；（２）证明：．分析：（1），．（2）需将不等式作等价变形：．在证明不等式时，根据不等式的结构特点，从整体角度考虑，可以用换元法：设，则不等式等价于，再构造新函数证明．构造函数，通过判断函数的单调性和极值，易得在区间（0，1）上恒成立，即，从而得证．　对另一部分不等关系可考虑