（山东专用）高考数学一轮复习专题18同角三角函数基本关系式和诱导公式（含解析）

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1、专题18同角三角函数基本关系式和诱导公式一、【知识精讲】1．同角三角函数的基本关系22(1)平方关系：sinα＋cosα＝1；sinα(2)商数关系：tanα＝.cosαπ平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．22．诱导公式一二三四五六2kπ＋πππ＋α－απ－α－α＋αα(k∈Z)22sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_αcosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinαtanαtanα－tanα－tan_απ诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·

2、＋αk∈Z”中的k是奇数2还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数ππ名称不变.“符号看象限”指的是在“k·＋αk∈Z”中，将α看成锐角时，“k·＋αk∈Z”22的终边所在的象限.二、常用结论汇总——规律多一点同角三角函数的基本关系式的几种变形22(1)sinα＝1－cosα＝(1＋cosα)(1－cosα)；22cosα＝1－sinα＝(1＋sinα)(1－sinα)；2(sinα±cosα)＝1±2sinαcosα.πα≠＋kπ，k∈Z(2)sinα＝tanαc

3、osα2.二、【典例精练】考点一同角三角函数基本关系式的应用15π3π【例1】（1）已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα＝()8423333A.－B.C.－D.2244【答案】B5π3π【解析】∵<α<，42∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.213又(cosα－sinα)＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，843∴cosα－sinα＝.2（2）(2018·全国Ⅱ卷)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.1【

4、答案】－2【解析】由sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，两式平方相加，得2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，1整理得sin(α＋β)＝－.222sinα【解法小结】1.利用sinα＋cosα＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实cosα现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，2利用(sinα±cosα)＝1±2sinαcosα，可以知一求二.2222223.注意公式逆用及变形应用：1＝sinα＋

5、cosα，sinα＝1－cosα，cosα＝1－sinα.考点二诱导公式的应用例2.(1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.1若sinα＝，则sinβ＝________.31【答案】3【解析】α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.1∴sinβ＝sin(π－α＋2kπ)＝sinα＝.32sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）7π(2)设f(α)＝3ππ(1＋2sinα≠0)，则f6＝________.

6、＋α＋α221＋sinα＋cos2－sin2【答案】3（－2sinα）（－cosα）＋cosα【解析】∵f(α)＝221＋sinα＋sinα－cosα2sinαcosα＋cosαcosα（1＋2sinα）1＝＝＝，22sinα＋sinαsinα（1＋2sinα）tanα7π11∴f6＝＝＝3.7πtanπtan66【解法小结】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角

7、函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用π＋β例3.（1）已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos2＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα＝()35373101A.B.C.D.57103【答案】C3sinβ－2tanα＋5＝0，【解析】由已知得tanα－6sinβ－1＝0.消去sinβ，得tanα＝3，22∴sinα＝3cosα，代入sinα＋cosα＝1，29310化简得sinα＝，则

8、sinα＝(α为锐角).1010ππθ＋3θ－（2）(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin4＝，则tan4＝________.54【答案】－3ππθ＋4θ＋3【解析】由题意，得cos4＝，∴tan4＝.54πππ1θ－θ＋－4∴tan4＝tan42＝－π＝－.θ＋3tan4【解法小结】1.利用同角三角函数关系式和诱导公