2017数学（理）一轮对点训练：8-5-2利用空间向量求空间角与距离含解析

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1、®对点题必刷题1・如图，已知△ABC,D是AB的中点，沿直线CD将△/CD翻折成CD,所成二面角才-CD-B的平面角为％贝M）A・Z0DBWaC・ZfCBWa答案BB・ZA‘DB2aD・ZA‘CB^a【详细分析】若CD丄AB,则Z0DB为二面角A1-CD-B的平面角，即么才DB=a.若CD与/〃不垂直，在中，过/作CZ）的垂线交线段CQ或CQ的延长线于点0,交BC于E,连接才0,则ZA‘0E为二面角0-CD-B的平面角，即Z才0E=g'A0=A'0,二ZA‘A0=^XAfD=AD./.ZArAD=^ZAfDB•而ZAfAOM直线AfA与平面A

2、BC所成的角，由线面角的性质知Z才AO

3、作CZ）的垂线交线段CQ或CQ的延长线于点0,交BC于E,连接才0,则ZA‘0E为二面角0-CD-B的平面角，即Z才0E=g'A0=A'0,二ZA‘A0=^XAfD=AD./.ZArAD=^ZAfDB•而ZAfAOM直线AfA与平面ABC所成的角，由线面角的性质知Z才AO

4、nZQOAi=3，sinZCO4、=普，注意到ACXOA是锐角，ZCOAi是钝角，且斗2＞普•故sina的取值范围是,1.3・如图，长方体ABCD—AB、CD中，SB=16,3C=10,AA}=8,点厶F分别在A}B„DC】上，A}E=D}F=4.过点E,F的平面么与此长方体的而相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面«所成角的正弦值.解⑴交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EM丄AB,垂足为贝AM=A{E=4,EM=AA{=S・因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10

5、・于是=pEH2-EM—6,所以AH=10・—>以Q为坐标原点，D4的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则力(10,0,0),27(10,10,0),£(10,4,8),F(0,4,8),—>—>F£=(10,0,0),HE=(0,-6,8).设死=(x,y,z)是平面EHGF的法向量，则$—>n・FE=0,―>、n・HE=0,J10x=0,_6尹+8z=0,所以可取"(0,4,3).—>又/F=(-10,4,8),故

6、cos〈“，AF)

7、="•兰=\AF所以/F与平面EHGF所成角的正弦值为芈.4•如图，在四棱

8、柱ABCD—ABCQ中，侧棱厦必丄底面ABCD,MB丄AC,MB=1,/C=M/i=2,4D=CD=远,•且点M和TV分别为5C和QQ的中点.(1)求证：伽〃平面ABCD；(2)求二面角D-AC-B,的正弦值；(3)设E为棱45上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的止弦值为£求线段力0的长.解如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得^(0,0,0),5(0,1,0),C(2,0,0)，D(l,一2,0),力1(0,0,2)，5(0丄2),G(2,0,2),D(l，-2,2).又因为11,刁1,N(l,-2,1).—>⑴证明：依题意

9、，可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.MN5=(0,-㊁，0).由此可得MN・n=0,又因为直线MNQ平面ABCD,所以MNII平面ABCD.—>(2)AD{=(1,-2,2),AC=(2,0,0).—>fi]-AD]=0,设ni=(xP必，zj为平面ACDX法向量，贝片—^n-AC=0,Xi-2yi+2z=0,即仁:不妨设Zi=b可得m=(0,1,1).2%i=0.—>n^ABy=0,设"2=(X2,如Z2)为平面MB]的法向量，则]—ji2'AC=0,—y2+2z2=0,,Mi=(0,1,2)，得仁n不妨设z2=b可得血

10、=(0,-2,1).[2x2=0.因此有cos〈"i，"2〉=-2=_105于是sin〈"i，"2〉所以，二面角D{-AC-B{的正弦值为