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《2017高考数学一轮复习第八章立体几何8.5.2利用空间向量求空间角与距离对点训练理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017高考数学一轮复习第八章立体几何8.5.2利用空间向量求空间角与距离对点训练理1．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则( )A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α答案 B解析 若CD⊥AB，则∠A′DB为二面角A′－CD－B的平面角，即∠A′DB＝α.若CD与AB不垂直，在△ABC中，过A作CD的垂线交线段CD或CD的延长线于点O，交BC于E，连接A′O，则∠A′OE为二面角A′－CD－B的平面角，即∠A′OE＝α，∵AO＝A′O，∴∠A′AO＝.
2、又A′D＝AD，∴∠A′AD＝∠A′DB.而∠A′AO是直线A′A与平面ABC所成的角，由线面角的性质知∠A′AO<∠A′AD，则有α<∠A′DB.综上有∠A′DB≥α，故选B.2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是( )A. B.C.D.答案 B解析 由正方体的性质易求得sin∠C1OA1＝，sin∠COA1＝，注意到∠C1OA1是锐角，∠COA1是钝角，且>.故sinα的取值范围是.3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16
3、，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．解 (1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，所以AH＝10.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,
4、8)，＝(10,0,0)，＝(0，－6，8)．设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n＝(0,4,3)．又＝(－10,4,8)，故
5、cos〈n，〉
6、＝＝.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.4．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．(1)求证：MN∥平面ABCD；(2)求二面角D1－AC－B1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．解 如图，以A为原点建立空间直角
7、坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(2,0,0)，D(1，－2,0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，－2,2)．又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M，N(1，－2,1)．(1)证明：依题意，可得n＝(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.＝(0，－，0)．由此可得·n＝0，又因为直线MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.(2)＝(1，－2,2)，＝(2,0,0)．设n1＝(x1，y1，z1)为平面ACD1的法向量，则即不妨设z1＝1，可得n1＝(0,1,1)．设n2＝(x2，y2，z2)为
8、平面ACB1的法向量，则又＝(0,1,2)，得不妨设z2＝1，可得n2＝(0，－2，1)．因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，于是sin〈n1，n2〉＝，所以，二面角D1－AC－B1的正弦值为.(3)依题意，可设＝λ，其中λ∈[0,1]，则E(0，λ，2)，从而＝(－1，λ＋2,1)．又n＝(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos〈，n〉＝＝＝，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0,1]，解得λ＝－2.所以，线段A1E的长为－2.5．如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD
9、＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．解 以{，，}为正交基底建立如下图所示的空间直角坐标系A－xyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．(1)因为AD⊥平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，＝(0,2,0)．因为＝(1,1，－2)，＝(0,2，－2)．设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，即令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1,1,1)是平面PCD的一个法向量．从
