定积分的基本概念

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1、教学内容I方法与手段定积分的概念大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分为三个内容：定积分概念引入定积分的定义定积分的几何性质首先我们来看第一部分、定积分概念引入说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至古代，最具有代表人物就是阿基米德(公元前287年一公元前212年)，我们比较熟悉的就是他的浮力原理，阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，其实当时必幻灯他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢？我们先看一个例子。1曲边梯形的面积问题：=我们知道矩形面积：+Sah梯形的面积：Sh=2=设yf(x)注区间［a

2、,b］上非负连y曲边梯形的面积：续，由直线x=a,x=b,y=O及曲线yf(x)所围成的面积。那么这样的问题怎么求呢？首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b的区间长度代表其宽，b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。好，现在我们将［a,b］区间分为两个，同样我们用这两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高，然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积，可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考，是不是切分的越多，具面枳越近似丫必幻灯迸幻灯曲详讲详讲幻灯我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计

3、算机对其划分过程高等数学第1页进行了模拟通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的漩描述一下。解决步骤：大化小：在区间［a,b］中任意插入n・1个分点a=Xo

4、?xk=Xk・xk-i,k=1,2,?n)近似和：S=P=i?Sk=R=if(g)?Xk取极限：令??=?????{???1,???2?,?????}7?7?■•■■S=lim??o??=1?????=lim??©f(?約？？？????=i这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个定积分问题例(2)变速直线运动的路程：设某物体做直线运尊，已知V_v(t)在区间［T,T］上t的连续函数，射)0了求12在这段时间内物体所经过白勺路程=So=>考虑：谄f(x)C0,vv(t)C0时(其中C为常数)，上面问题的求解。在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题宝个问题之间的条我们可以发现其实求路

5、程和求面积本身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称麋上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个变量替换就可以了，具体的解决步骤是。解决步骤：大化小：在区间［T,T］中任意插入n・1个分点12Tl=to?,?

6、?曙9???••••s=lim?????=??°22=1limv(切9?^??=1??0问题的共性解决问题的方法步骤相同：“大化小，常代变，近似和，取极限”所求量的极限结构式相同：特殊乘积和式的极限,面我们从数学的角度对其做个总结就可以得劃定积分定义。二、定积分的定义1定义：设函数f(x)在［a,b］上有定义，在［a,b］中任意插入n・1个分点a=xo

7、函数儷)与小区间长度?Xk的乘积分f(£)?Xk(k=1,2,?n),并做和数。7?■•?>?=f(9^99979??=1在每个足max?{?xi,?X2?,?Xn},如果不险,b］怎么分法，也不沦-4,Xk上gk怎么取法，只要当心0时,和数In总趋于确定的极限I,则称这个极限值內函数bf(x)在［a,b］上的定积分，馆af(x)dXo77??••??(?7)???=???=limf(?醐？？？?？??G??=1其中称［a,b］为积