周金艮毕业论文

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1、浅谈凸函数以及一类内积表达函数的凸性作者：周金艮指导教师：许姐摘要凸函数是一类重要的函数，它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具.本文首先给出了凸函数的定义及其性质，研究了凸函数的等价定义及常用的一些判别方法，探讨了凸函数在证明不等式当中的应用.另外，本文还重点研究了用内积表达的一类函数，并分析了它们的凸性.关键词凸函数不等式内积凸性1引言凸函数是一类非常重要的函数，广泛应川于数学规划，控制论等领域，函数凸性是数学分析

2、中的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式诸方而都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起來的.木世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支屮得到了广泛应川.现行高等数学教材中，也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文就以凸函数儿种定义的等价性给以证明，并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明儿个重要且常用的不等式和凸

3、函数在证明一•般不等式中的应用；另外，本文还研究用内积表达的某些函数，分析它们的凸性.2凸函数的概念及其等价性定义初探2.1基本概念大家都熟悉函数fM=x2的图像，它的特点是：曲线y=〒上任意两点间的弧总在这两点连线的下方•我们可以下这样一个定义：设/(兀)在［。,切上有定义，若曲线y=/(x)±任意两点间的弧总位于连接该两点的氏线之下，则称函数/(兀)是凸函数.上面的定义只是儿何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸甫数是十分必要的.在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个等价定义：设(a,

4、b)uR为实数轴上的开区间一oo<6Z

5、点间弦的中点始终位于2点间弧的中点之上.定义2的儿何意义是函数曲线/（兀）上任意2点间的弦始终位于2点间弧的上方.定义1只要求/（兀）在（d,b）内有意义，它耒必是连续函数，甚至是Lebesgue不可测函数；定义2蕴含/（x）在仏耐内连续•换言之，若函数是定义1下的凸函数则它必定是定义2下的凸函数，但反之却不成立.由此可见定义1耍与定义2等价必须有一些条件限制.结论1⑶当/（兀）在（。上）内连续时，定义1与定义2等价.证明定义2=＞定义1,显然，令丸=丄即可.2定义1=＞定义2：Vx,ye（。上）及有理数2w

6、（0,1）用二进制表示久为：“、a2=O.aAa2••-①=工一^%・=1或0,19=/£才兀+£才丁=fd"+$y+L；=cL^x+X#r>?"2厶i=2乙2ai_v丄十上L乙n/-l乙7"®右bj-V兀+〉—4j-i2【—・iX+i一V/=2z/=2

7、22討加+勺司+£佩兀+方2司+*4工歹n1……5》不/仏兀+勺对/=1厶利用（3）式得：/(Ax+(1-A)y)<£才、广(兀)+£才/(y)=〃(兀)+(1-2)/60z=iL/=1L久为有理数的情况获证.若Qw（0,1）为无理数，则存在有理数入w（0,1）5=1,2,…）使得入t2（nT8）,由于于（兀）在（a,b）内连续,W[加+（1-2）y]=/

8、lim[入兀+（1一A,bll=limf[&兀+（1-4）y]（4）〔一f对于有理数2ne（0,1）,前面已经证明:f[Anx+（1-An）y]<2n/（

9、x）+（1-4）/（y）对上式两边同时令“TOO取极限后代入（4）式得：/[/k+（l-A）y]