第3章一元函数微分学

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1、第三章一元函数微分学§3.1基本概念与主要结果例1设/(兀)定义在(0,+8)上且在兀=1处可导，对任意x,y>0有/(兀y)=*(x)+妙(y),证明/(兀)在(0,+8)上处处可导，并求广(兀)与f(Q・证明令x=y=,得/(1)=2/(I),/(1)=0,当兀>0时有/(兀+力)一/(兀)h1+”+如+-V/U)-vO)/W+rX工!2,于是/心)=血儿+〃)一/(叭血+门).20hX下面解微分方程型=丄+广(1)dxX(1)•令u=—1即y=iixy有-^-=x—+w,代入(1)xdxdx式化简得空=凹，即u=f\)xx+Cx.令x=,得C=0,故

2、dxx/W=/'O)xlnx,/*(%)=广(1)(1+Inx).例2设/(x)在[a,b]±可导，/©)=/0)=0,导数/©)与/")存在且f⑷•广(b)>0・证明存在ce(a,b)使得/(c)=0.证明不妨设广«)>(),/©)>()，由于lim'(八/⑷二f(a)>0,存在4>0,当x"x-ajqw(a,°+§)时，‘3)—>0由兀

3、一°>0得/(X])>/(q)=0.x}-a又由”)-'0)=广@)>0,存在八>0,当兀2W0—N，b)时，/("KE〉。,从而X"x-b心_bx=()心0/(x2)

4、*，兀2】上利用连续函数的介值性定理存在CW(兀

5、,兀2)U(d,b)使得/(c)=0.例3设/⑴在(-00,4-00)±二阶导数连续，且/(0)=0,定义函数g(x)=<证明g(兀)在(—,+-)上有一阶连续的导函数.证明显然当兀工0时，g(Q是连续的，又limg(x)=lim/®=lim―=/'(0)=g(0),故g(兀)在(-oo,+oo)上连续..ttOx<-0xxjo兀一0市导数的定义,2x~~0(0)弘止1沁恤亠上=Ihn血空Liim广⑴—广(°)-厂(0).t<—0无—00兀0兀2.v<-()因此g(x)在X=0处可导，从而g(x)在(-00^+00)

6、上处处可导.当心0时，g，&)」心)严,x2由于恤心口inX®丁⑴―业Um止kmU'(O).XTO。)XTO兀2xto2xXTO22因此g©)在兀=0处连续，从而g'(x)在(-8,+oo)上处处连续.例4设才(兀)在［a,b］上可导，证明广(兀)具有介值性即Vx,,x2e［a,b］(不妨设x{

7、为由于Fg)=八西)一“v0,故存在xg［x,,x2］使F&)_Fg)vo,从而F(xJ>F(x)>F(f),即x-x{X］,类似可证兀2.由Fermat定理(极值的必要条件)，F(f)=O,即/'©=“•注此结论称为达布定理，也称为导数的介值性定理.推论若/(©在仏b)内处处可导，则广(兀)不能有第一类间断点，即具有第一类间断点的函数不存在原函数.证明因/(兀)在(g,Z?)内处处可导，所以对任意x()w(a,b),当x>x()吋，/(兀)在［x(),x］上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在(xo,x)>使得/(兀)_/(%)=/'(§).又工0<§V兀，故兀T兀

8、。+时有fT兀。+,于是有r(x0)=/；(x0)=lim/⑴一/色)=lim广G)=f(x0+0),Xf©X-兀()这说明广⑴在X。处有右极限时必有f(兀o)=lim广(§)=f(%+0),同理可证若广⑷在X。处有左极限时有广(“))=lim/'(§)=/'(兀()-0)・所以在(c,b)内任意一点兀()处除非至少有一侧广⑴无极限(这时心为广⑴的第二类间断点)，否则广(X)在此处连续即.r(xo-o)=r(xo)=r(xo+o).例5设/(x)在(°,b)内可导且广(a+0)=limf'(x)存在.证明(1)f{a+0)=lim/(x)存在；(2)若补充定义f(a

9、)=lim/(x),则右导数兀(g)存在且/；(«)=广@+0).证明(1)设/%+())=limf(兀)=/,由极限的局部有界性，存在$>(),当_rw(a,d+5j时’

10、广(X)—/

11、vl，由此得I广(刖Vl+

12、/

13、・V£>0,36=minMn———I,当g(a,a+3)1+昭时,由拉格朗日中值定理,

14、/(码)一/(兀2)=

15、广(切州-对V(l+Mb<£其中§介于刁，兀2之间•由柯西收敛准则，/(d+0)=lim/(x)存在.・YT&+°(2)补充定义/(a)=lim/(x),当XGM时，由拉格朗日屮值定理，f{x)-f{a)=，其中f介于⑦兀之间，当XT/