第2-3章 一元函数微分学

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1、一元函数微分学（第2、3章）一、导数1．导数及左、右导数的概念实质：增量比的极限（P.88第3题）2．导数的几何意义（P.86）设函数在点处可导，则曲线在点处的切线方程为，对应的法线方程为．特别地，如果，则切线方程，即切线平行于轴．如果为无穷大，则切线方程，即切线垂直于轴．3．可导与连续的关系可导左、右导数都存在且相等连续（反之不然，例如在处连续但不可导）P.964．求导法则(1)基本初等函数的求导公式(2)四则运算的求导法则（P.89定理1）(3)反函数的求导法则（P.92定理2）(4)复合函数的求导法则（P.93定理3）(5)隐函数求导法(6)对数求导法步骤：①取绝对值；②取对

2、数；③求导．适用范围：多个函数的乘积、根式函数、幂指函数(7)由参数方程所确定函数的求导法则①设参数方程为，则，且②极坐标表示的曲线的切线（P.110）③切线与切点和极点连线间的夹角（P.110-111例11）5(8)高阶导数w，其中．w莱布尼茨公式P.102公式(3.9)(9)幂指函数求导的两种方法①利用及复合函数求导的链式法则求解．②对数求导法注意：上述方法在时才适用．二、微分1．微分的概念实质：把近似地表示成的线性函数，即（线性主部）．2．微分的几何意义（P.119）3．导数与微分的关系可导可微，且（P.116定理1）．4．微分的形式不变性应用：在微分公式中可以作任意的变量代

3、换．注意：形式不变性在求导公式中不成立．5．微分在近似计算中的作用(1)(2)（化曲为直，以直代曲）6．中值定理名称条件结论罗尔定理①在上连续，②在内可导，③，至少存在，使得．5拉格朗日中值定理①在上连续，②在内可导，至少存在，使得．柯西中值定理①、在上连续，②、在内可导，③，，至少存在，使得．泰勒中值定理设函数在含有的某个开区间内具有直到阶连续导数，当时，有(1)几个中值定理之间的关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理(2)几个公式ü拉格朗日中值公式P.132公式(1.1)及(1.2)ü有限增量公式P.133公式(1.3)ü阶泰勒公式P.144公式(3.6)及(3.

4、10)ü阶麦克劳林公式P.145公式(3.11)及(3.12)（麦克劳林公式是泰勒公式的特殊情形）ü常用初等函数的麦克劳林公式P.147-148(3)拉格朗日中值定理的两个推论P.134(4)两种余项P.144-145ü拉格朗日型余项（介于和之间）（）ü皮亚诺型余项51．未定式极限与洛必达法则2．函数的性态与导数的应用(1)函数的单调性与曲线的凹凸性(2)函数的极值与最值①判断函数极值的理论依据P.156定理3（必要非充分条件）P.156定理4（充分非必要条件，适用范围：驻点、不可导点）P.158定理5（充分非必要条件，适用范围：且）说明：不同单调区间的分界点一定是极值点，但反之不

5、然．②可能的极值点：驻点、不可导点③可能的最值点：驻点、不可导点、区间端点④函数极值与函数最值的关系极值点一定是最值点．（错误）最值点一定是极值点．（错误）极小值一定小于极大值．（错误）最值在区间内取得，则最值一定是极值．（正确）(3)渐近线5(1)弧微分设表示过曲线上一点的切线的倾斜角，则（微分三角形）(2)曲率设表示过曲线上一点的切线的倾斜角，则ü直线的曲率处处等于零．ü半径为的圆的曲率等于．(3)曲率圆设表示过曲线上一点的切线的倾斜角，则曲率半径曲率中心P.179公式(7.8)曲率圆的特点：有公切线、凹向一致、曲率相同．5