第13章 一元函数微分学II

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1、13．5函数的单调性与极值l单调准则：(1)f(x)单调递增当且仅当f¢(x)³0;(2)f(x)单调递减当且仅当f¢(x)£0.确定f(x)单调区间的步骤：Step1:确定定义域(可省略)；Step2:求f¢(x)=0与f¢(x)不存在的点;Step3:用Step2中的点划分定义域，并用f¢(x)在这些区间上的符号确定单调性。例1求的单调区间。l极值的判定l极值的必要条件：设f(x)在处可导并取得极值，则由此知，函数的极值点只能是不可导点或者稳定点(即满足f¢(x)=0的点).由单调区间可直接确定极值点，这就是l几何判别法(第一充分条件)：连续函数的单调区间的结合

2、点是极值点。例2求下列函数的单调区间和极值点：(1)(2)l代数判别法(第二充分条件):设则是极值点，且当时是极大值点，当时是极小值点。(理解极值判别法的最好最简单的例子是.)例3求的极值。l最大值与最小值(最值)最值=极值+端点处的值。特别注意：如果函数只有一个极值点，则该极值点必然是最值点。例4求在区间[-3，4]上的最大值与最小值。例5设a>1,x>-1,证明:13．6曲线的凹凸性、拐点与渐近线l曲线f(x)是凹(凸)的如果f¢¢(x)>0(f¢¢(x)<0).l最简单也是最好的例子仍是l凹凸区间的连接点称为拐点。拐点只能是满足f¢¢(x)=0的点或者二阶导数

3、不存在的点。例6试求的凹凸区间。l渐近线：在无穷远处与f(x)无线接近的直线。一般分为垂直渐近线，水平渐近线和斜渐近线(不考)。l垂直渐近线：如果,则x=a是一条垂直渐近线。如，x=0是的一条垂直渐近线。l水平渐近线：如果,则y=c是一条水平渐近线。如，y=0是的一条水平渐近线。例7求下列曲线的渐近线：(1);(2)13．7常考题型与解题技巧例13.1若则[].A.0B.6C.36D.不存在解由于题目对的限制仅有，故使用特殊值法，令，可得，所以故选C.本题如使用传统方法，则极困难，请大家试解之。(以下例题均按照清华教材编号，第181页.)例12.11.1设存在，则[

4、]。A.一定不存在B.C.3D.分析：D明显错；特殊值法，取f(x)=0可知A错.但B与C仍不能区分；故再取f(x)=x,可杀B。本题应理解为普遍的理论。例12.11.2设函数其中f(x)在x=0处可导，f¢(0)¹0,f(0)=0,则x=0是F(x)的[]。A.连续点B.可去间断点C.第一类非可去间断点D.第二类间断点分析：特殊值法。取f(x)=x即可。但f(x)/x是著名条件，需掌握一般理论。例12.11.1设f(x)在x=a点连续，F(x)=

5、x-a

6、f(x),则F(x)在x=a处[]。A.间断B.连续但不可导C.可导D.可导性与f(x)有关分析：特殊值法.取

7、f(x)=0可杀A,B;取f(x)=1可杀C.例12.11.2设处处可导，则有[].A.a=0,b=2B.a=0,b=1C.a=1/e-1,b=2D.a=e-1,b=1例12.11.3设则f(x)在x=0点[]。A.间断B.连续但不可导C.可导但导数在x=0点不连续D.可导且导数在x=0点连续例12.11.1设在x=1处可导，则[]。A.a<-1B.-1£a<0C.0£a<1D.a>1例12.11.2设f(x)在(-a,a)内满足,则x=0必是f(x)的[]。A.间断点B.连续但不可导点C.可导且f¢(0)=0D.可导但f¢(0)¹0分析：特殊值法。取f(x)=0可

8、杀A,B,D.例12.11.3设其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处[]。A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导分析：特殊值法。取g(x)=0,可知A,B错；略加计算可知C错。例12.11.1设f(x)可导且满足则曲线y=f(x)在x=1.处的切线斜率为[]。A.2B.-2C.1/2D.-1分析：即使此类题也可能使用特殊值法。因为满足条件的f(x)中最简单的就是f(x)=ax,明显地，a=-2.例12.11.2(黑板画图)例12.11.3设则y¢=[].A.B.C.D.例12.11.4设则[]。A.-6B.-6ln2C.6ln2D.6分析

9、：A与D明显错，为什么？例12.11.1设f(x)可导，y=f(x)arctanf(x),则dy=[].A.B.C.D.分析：B,D明显错，为什么？取f(x)=1则C也错。例12.11.2若曲线和在点(1,-1)处相切，则[]。A.a=0,b=-2B.a=1,b=-3C.a=-3,b=1D.a=-1,b=-1分析：代入(1,-1)可得a+b=-2，一无所获,只好计算。只在此时，计算才是必须的！例12.11.1若函数y=f(x)在x=a处的导数不为0，则当时，该函数在x=a处的微分dy与是[]的无穷小量。A.等价B.同阶C.低阶D.高阶分析：基本常识，导数的含义。