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1、德州学院数学系04届信息与计算科学专业08毕业微分中值定理分析与推广胡国彪(德州学院，数学系，信息与计算科学，山东，德州253023)摘要：微分中值定理定理是微分学的基本定理，泰勒定理、罗必塔法则、函数单调性、极值及函数的凹凸性等涉及到的大量定理和结论都是微分中值定理的理论推导。深入研究微分中值定理，有助于加深对这些定理的理解，清楚这些定理的证明，能促使学习者掌握微分中值定理的具体应用。关键词：中值定理；理论推导；应用推广1•微分中值定理历史与发展根据文献[1],知道人们对中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了
2、，它首先是法国著名的数学家费马于1637年给出了费马定理，有的教材中把它作为屮值定理，有的则当作中值定理引理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》中给出了多项式形式的罗尔定理；拉格朗F1定理是由法国数学家拉格朗RT1797年在《解析函数论》一文中给出的，并给出初步证明；对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西，他首先赋以中值定理重要的作用，使其成为微分学的核心定理，并给出了广义的中值定理一柯西定理。(1)费马定理：费马应用“虚拟等式法”山解出关于极大值与极小值的问题，从而得出原始形式的费马定理。因为当时微
3、积分还处于初创阶段，费马给出的结论其断论不严格。现在见到费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新创造的。(2)罗尔定理：罗尔当时提岀这个结论，主要是针对多项式函数，现在所看到的罗尔定理则适用一般函数，而且证明方法也与罗尔的有所不同。罗尔是利用纯代数方法加以证明的，后人则是以微分理论证明的。⑵罗尔定理这个名字是由德罗比什在1834年给出的。罗尔在《方程的解法》论著中给出了“多项式公式的两个相邻实根中，方程公式至少有一根”的论断。止好是定理的一个特例，这也是此定理成为罗尔定理的原因。(3)拉格朗日定理：该定理
4、是微分中值定理小最主要定理。历史上对拉格朗日定理的证明有三种⑴，最初的证明由拉格朗FI在《解析函数论》中给出。从这个肚理条件和结论可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一种特殊情况。正因为如此，可以借助罗尔定理，证明拉格朗日定理⑵，这种现代的证明方法是由法国数学家0.博内给出的。(1)柯西定理：对于定理中的函数g,当g(x)=x时，柯西定理就是拉格朗日定理。所以柯四定理可以看做是拉格朗日定理的推广，关于该定理的证明方法也与拉格朗FI定理证明方法类似⑵。2.基木概念2.1罗尔中值定理如果函数/(兀)在闭区间［a问上连续，在
5、仏b)内可导，且在区间端点处函数值相等，即/(6/)=/(&),那么至少存在一点g使得/(g)=0(ge(a9b))2.2柯西屮值定理如果函数/(x),g(x)在区间［a,b］上连续，在仏内可导,且VXG(6Z,/?),有g(兀)H(),则在(d,Z?)内至少存在一点使得：理二缥=马宝，如果去掉条件Vxe(a,b)有&(兀)工0则得到如下结论：g(。)—g(b)g(©)推论：如果函数f(x),g(x)在闭区间［a,b］±连续，在(a,b)内可导，则在(d,b)内至少存在一点G使(f(b)-f(a))g'(^)=(
6、g(b)-g(a))f'(^)证明：令F(x)=(f(3)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x),由条知函数F(x)在区间［a,b］上连续，在(o,b)内可导，F(a)=f(b)g(ci)-.f(b)g(ci)=F(b),由此根据罗尔定理，在@上)内至少存在一点使得F(G=W)—/(a))g'(G—(ge)—g(d)”'(G=o,即有：(/何-/(a))Q(G=(g(b)-g(o))广($)2.3拉格朗日中值定理如果函数/(对在在区间［a,b］上连续，在@,b)内可导,那么在(恥)内至少存在一点G使
7、得广(兀)=/(?7⑷b—ci2.4三者Z间关系见图1从图1可以看出：罗尔定理是微分中值定理的基础，而拉格朗日中值定理则是微分中值定理的核心，拉格朗日中值定理添加条件中f(a)二f(b),则收缩为特例罗尔定理，反之，如果罗尔定理屮放弄条件f(a)=f(b),则推广为拉格朗Fl屮值定理，而柯西屮值定理可视为拉格朗日屮值定理在表述形式上的一种推广。同样,若令F(x)二x,则收缩为特例拉格朗口中值定理，而泰勒中值定理可视为拉格圳日中值定理造应用上的-•种推广。3微分中值定理推广3.1从［d问推广到无限区间［a,+oo)
8、或(-00,+oo)定理1如果函数/⑴满足:①在区间［d,+oo)上连续：②在区间仏+切上可导;®lim/(x)=/(6Z)；那么在仏+oo)至少有一点：(a<了v+oo),使得广($)=0证明：令=t贝Ux=-+a-=(p(t｝当av$v+oo时，0
