数列求和的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练（含答案）

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1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第39讲:数列求和的方法【知识要点】一、数列的求和要有通项意识，先要对通项特征进行分析（数列的通项决定了数列的求和方法），再确定数列求和的方法.二、数列常用的求和方法有六种：求和六法一公二错三分四裂五倒六并，最后一定要牢记，公比为1不为1.1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前八项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.①等差数列求和公式：s”=fd+£）=M+M"

2、_l）d”212②等比数列求和公式:叫（q=Hs“=<舛（1-7‘）③常见的数列的前〃项和：1+2+3+•…+n=響,13+23+33+……+n3=2、错位相减法:若数列｛乞出｝,其中｛仇｝是等差数列，｛c“｝是等比数列，则采用错位相减法.若an=bn^cn9其中血｝是等差数列,｛c”｝是公比为q等比数列,sn=也+也+…+bn_xcn_x+bncn'则qSn=加2+虹?3+…+bn_xcn+bncn+1两式错位相减并化简整理即得.3、分组求和法：有一类数列｛匕+化｝,它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列｛。〃｝,｛仇

3、｝是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项Z差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前〃项的和变成首尾若干少数项Z和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似J—［（其中u%J｛色｝是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等•用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法:1_1P1]〃（〃+£）k川n+k),特别地当k=l时,®i—==—(J刃+k—,

4、特另0地当£=1时=V/F+T—[nJn+k+a/hk'7+③廿(2沪(2〃一1)⑵2+1)_(4/i2-1)+14/12-!1+力2一1一勺匕―1一2〃+1）n(n-l)(n+2)占册FS+1)：+2)1n+21_2(/i+l)-n11〃(〃+1)•卫一几(几+1)莎一〃2"_一(斤+1)2"®h•h!=[(n+1)-l]Zh!=(/?+1)!-h!5、倒序相加法:类似于等差数列的前刃项和的公式的推导方法•如果一个数列｛色｝,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可釆用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常

5、数列的和•这一种求和的方法称为倒序相加法.6.并项求和法.有些数列的通项里有（-1）“，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数來分类讨论.【方法讲评】方法一公式法使用情景如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前〃项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.解题步骤直接代入公式即可.【例1】己知等比数列｛%｝中，q=64，公比a29a39a4又分别是某等差数列的第7项,第3项,第1项.(1)求色;⑵设bn=log2an,

6、求数列｛

7、®

8、｝的前n项和Tn・【解析】(1)依题意有a2-a4=3(^-a4),即2a4一3a3+a2=0,2a、q—3偽q+aAq=0,即2q2—3q+1=02.TgH1,:・q=丄.故％=64x(丄)e.(2)=bg2[64x(1)i]Tog/"=7-叭2—nn7.“卄尸琬13—对卅13w<7Hj/=——+—«;222«>70寸〉7nF?137；=^+-+^-^--—^=2y7-^=2x-(6+0)--(6+7-W)=---«+4213z””一——+——n(n

9、42(n>7).I22【点评】（1）利用公式法求数列的前〃项和，一般先求好数列前〃项和公式的各个基本量，再代入公式.（2）第2问注意要分类讨论，因为〃与7的大小关系不能确定.【反馈检测1】己知｛匕｝是公差不为零的等差数列，q=l,且心帆成等比数列.（I）求数列｛色｝的通项；（II）求数列｛2"”｝的前〃项和S”.方法二错位相减法使用情景已知数列｛佔｝,其中｛仇｝是等差数列，｛q｝是等比数列，则采用错位相减法.解题步骤若〜=叽•q,其中｛4｝是等差数列，｛cn｝是公比为g等比数列,令S”=bQ+伏勺+…+bs+bncn,则qS

10、n=b｛c2+/+・・•+bn_｛cn+bncn+i两式相减并整理即得.【例2】已知函数f（x）=-3x2+6x,S〃是数列｛%｝的前a?项和，点5,S”）（必M）在曲线y=/（x）上.（I）求数列0｝的通项公式；（II）若bn=（~y-],也上如，且7；是数列｛c〃｝的前“26项和.试问