2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第39讲 数列求和的方法

《2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第39讲 数列求和的方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第39讲数列求和的方法【知识要点】一、数列的求和要有通项意识，先要对通项特征进行分析（数列的通项决定了数列的求和方法），再确定数列求和的方法.二、数列常用的求和方法有六种：求和六法一公二错三分四裂五倒六并，最后一定要牢记，公比为1不为1.1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.①等差数列求和公式：②等比数列求和公式：③常见的数列的前项和：，=,，等.2

2、、错位相减法：若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令,则两式错位相减并化简整理即得.3、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.164、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适

3、用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：①，特别地当时，②，特别地当时③④⑤⑥5、倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法.如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.这一种求和的方法称为倒序相加法.6.并项求和法.有些数列的通项里有，这种数列求和时，一般要分奇数和偶数来分类讨论.【方法讲评】方法一公式法16使用情景如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为

4、等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.解题步骤直接代入公式即可.【例1】已知等比数列{}中，,公比,又分别是某等差数列的第项，第项，第项.(1)求；(2)设,求数列的前项和.【解析】（1）依题意有，即,，即2.∵,∴.故.【点评】（1）利用公式法求数列的前项和，一般先求好数列前项和公式的各个基本量，再代入公式.（2）第2问注意要分类讨论，因为与7的大小关系不能确定.【反馈检测1】已知是公差不为零的等差数列

5、，，且成等比数列.16（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列{}的前项和.方法二错位相减法使用情景已知数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.解题步骤若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则两式相减并整理即得.【例2】已知函数，是数列的前项和，点（，）（）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且是数列的前项和.试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（Ⅱ）因为①所以②③②－③得16.整理得，④策略二利用商值比较法由④式得.因为所以，即.所以所以存在最大值.策略三利用放缩法由

6、①式得，又因为是数列的前项和，所以.所以16所以存在最大值.【反馈检测2】数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）求证：对且恒有．方法三分组求和法使用情景有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列.解题步骤可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.【例3】已知数列{}的前项和为，且满足．（1）证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；（2）数列{}满足

7、，其前项和为，试求满足的最小正整数．（2）16设①【点评】（1）数列求和时，要分成两个数列求和，其中一个是数列通项是，它用错位相减来求和，另外一个数列是，它是一个等差数列，直接用公式法求和.（2）解不等式时，直接用代值试验解答就可以了.【反馈检测3】已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.方法四裂项相消法使用情景类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.解题步骤把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是

8、前项的和变成首尾若干少数项之和.【例4】已知等差数列满足：，.的前项和为.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，所以有，解得，所以；==.16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，【点评】利用裂项相消时，注意消了哪些项，保留了哪些项.如，.为了确定保留了哪些项，最好前后多写一些项.【反馈检测4】设数列满