多功能题典高中数学竞赛-45

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1、⑵若a、b同为奇数.由于q+方为偶数，〃个axb棋盘的颜色分布彼此相同.L-S=dii,u是一个axb棋盘的对角线上红蓝线段总长度之差.不妨设a^b.b=l时，对角线等分为d段，笫一段为红色，各段红蓝交替，段数为奇数，故u=.a下设a>b>•将对角线曲等分，分点记为1,2,…，ab-,每小段长v=°+".分点jb(lW丿WaT)ab是对角线与水平方格线的交点，初(lWiWb-1)是与竖直方格线的交点.它们是红、蓝线段的分界点,将其他分点抹去.〃将对角线等分为a个区间，每个长为加.点衍分布在这些区间内，每个区间至多含一个点，故正

2、好有〃-1个区间各含一个点，另外a-b+l个区间为空.下面对两种区I'可分别求红蓝线段长度的代数和(红色収“+”，蓝色取“■”.任一线段的符号等于(-1)",£是该线段左侧的分点个数，含该线段的左端点).空区间整段同色，第一个为红色(因为a>b).相邻的两个空区间隔着偶数个线段，故颜色相反.又因空区I'可的个数为奇数，故所有空区间长度的代数和等于加.令/0=纟0+机1冬町Wb-l)，则分点ia在区间［/，©+»］内，将它分为颜色相反的两线段，左段长为即，右段长为(b-r^v.注意到这个区间左侧共有4+11个分点(含qb).故这个区

3、间两线段长度的代数和等于((一1)汕S+(_1严©-灯»=(_1)汩@-2灯*.因为a©+7)=g,(a+b)+?;,a+b为偶数，a为奇数，故％+与同奇偶•又因Q与方互素，，取遍1,2,…，〃-1时/;也取遍1,2,…，b-.于是得到所有不空区间上线段长度的代数和等于1A-IvX(一1)卅(b-2作)=卩工(一1)巳一2/;.).r=)/;=)由于b-l为偶数，这个和式等于

4、.综上可得，当亦为偶数，即加与〃含素因子2的方次不同时，L=后"；而加与"含素因子2的2I22方次相同时,L='〃‘*"((〃7,n)2+mn),其中(m,n)是加与〃的最大公因数.2nin23.1.19**★★将加m棋盘(由加行”列方格构成，加23,〃23)的所有小方格都染上红蓝二色之一.如果两个相邻(有公共边)的小方格异色，则称这两个小方格为一个“标准对”.设棋盘中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定?什么情况下S为奇数?什么情况下S为偶数?说明理由.解析一把所有方格分为3类.第一类方格位于棋盘的四

5、个角上，第二类方格位于棋盘的边界(不包括四个角)上，其余的方格为第三类.将所有红色方格填上数1,所有蓝色方格填上数记第一类方格的填数分别为a.h.cd.第二类方格的填数分别为西,兀2，…，轧+2”・8,第三类方格的填数分别为M，%，…，儿-2X”-2)，对任何两个相邻的方格，在它们的公共边上标上这两个方格内标数的积.设所有公共边上的标数的积为对每个第一类格，它有两个邻格，所以它的标数在H中出现两次，对每个第二类格，它有3个邻格，所以它的标数在H中出现3次，对每个第三类格，它有4个邻格，所以它的标数在H中出现4次，于是H=(abed

6、)2Cl"…—2”.8)3(夕必…灯-2K”-2))“=(X]X2•••x2m+2n_8).当“2+2”-8=1时，H=l,此时有偶数个标准对;当“2…&+2”_8=-1时,H=-lr此时有奇数个标准对.这表明：S的奇偶性由第二类格的颜色确定.而且，当第二类格中有奇数个蓝色格时，S为奇数.当第二类格屮有偶数个蓝色格时，S为偶数.解析二所有方格分为3类，第一类方格位于棋盘的四个角上，第二类方格位于棋盘的边界(不包括四个角)上，其余的方格为第三类.如果所有方格都是红格，则s=o为偶数.如果方格中有蓝格，则任取其中一个蓝格将/改变为红色

7、.(1)若力是第一类格，设力的2个邻格屮有力个红格，2-k个蓝格，则将力变为红色后，标准对个数增h\72-k-k=2-2k.所以S的奇偶性不改变.(2)若/是第二类格，设/的3个邻格中有厂个红格，3_p个蓝格，则将力变为红色后，标准对个数增加了3-p-p=3-2p.所以S的奇偶性改变.(3)若/是第三类格，设力的4个邻格中有g个红格，4-q个蓝格，则将力变为红色后，标准对个数增加了4-g-q=4-2g.所以S的奇偶性不改变.如果操作后棋盘中还有蓝色格，则再进行类似的操作，直至所有方格为红色为止，此时S变为0.显然，当笫二类格中有

8、奇数个蓝色格时，S改变奇数次奇偶性；当笫二类格中有偶数个蓝色格时，S改变偶数次奇偶性.所以S的奇偶性由第二类格的颜色确定，且当第二类格中有奇数个蓝色格时，S为奇数；当第二类格中有偶数个蓝色格时，S为偶数.评注解法一用的是赋值法，解法二用的是变换法.