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1、第18章不定方程18.1分式方程18.1.证明方程—+—4-—+—=//?对于m=2与加=3没有正整数解兀，y,z,/.求出加=4yztx时方程的正整数解兀，y,z,解析利用平均值不等式，当X,y,z,rwN时，有兰+丄+兰+丄$4』兰•丄上上=4,等号当且yztxztx仅当i=y=i=L时成立.yztx显然，当加=2,3吋，原方程没有正整数解.当加=4吋，-=^-=-=-=1,即x=y=z=t=k（k为yztx任意正整数）为方程的所有正整数解.18.1.2**设n是给定的正整数，求丄=丄+丄，xHy的正整数解（兀，y）的个数.nxy解析从
2、原方程可以看出兀＞〃，于是令x=n+r9y=料+s,厂Hs•将它们代入原方程可得n2=rs,而〃$的不同因数厂共有〃（川）个，由心s知心n.所以原方程的正整数解（x,刃的个数是J（n2）-1.18・1.3★幺求最小的正整数斤，使得有n个不同的正奇数西，兀2，…，满足111tc—+——+…+——=1•①西勺X”解析-+-+-+-+-+-+—+—+—=1・这表明n=9时，①有符合要求的解.所以最小的357911153545231/?W9.因为丄+丄+丄+丄+丄+丄cl,所以农27.35791113假设72=7.因为1111111,一+—+—+—
3、+—+—+—<1,3579131517所以7个单位分数屮必有｛丄，丄，丄，丄，丄.因为357911丄+丄+丄+丄+丄+丄亠,3579111517丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄<1,3579111519所以7个单位分数中也必有丄13丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄35791113231111111(111111>193579111321所以/7=7时没有符合耍求的解.8个分母为正奇数的单位分数相加时，以这8个奇数的最小公倍数为公分母，通分后相加，分母是奇数,分子是8个奇数的和，从而分子是偶数，不可能与分母相等.即这8个分数的和不可能为1.于是〃的最小值
4、为9.18.1.4*对每个自然数加，求方程—+—+—=m的所有整数解x、y>z,其中x、y>z两yzx两互质•解析原方程等价于方程x2z+y2x+zb=nixyz，这里兀、八z为非零整数，且两两互质•于是yx2z,zy2x,xz2y.又(x,y)=1,(z,y)=1,所以(Fz,y)=1.从yx2z得y=±1,同理可得z=±l,x=±.若兀、y、z同正或同负，则从原方程得加=3.若x、y、z中两个为正，一个为负，或两个为负，一个为正，则从原方程得加为负数，与题设矛盾.于是，原方程当加=3时，有两两互质的整数解兀，y,z,此时仅有两组解：x
5、=y=z=,x=y=z=-,当时，原方程没有满足题设条件的解.18.1.5*求出方程丄+丄+—+-=1的所有正整数解x、yz、t.且xWyWzWf.xyzt解析若方程有解，则必须xW4.因为当时，由于兀WyWzW/,有丄+丄+-+-<1.显xyzt5然，我们也必须要求x22・于是，我们只需考虑三种情况：即兀=2,3,4.首先假设x=2,此时有方稈2111由于yWzWf,故-^1,即yW6・另一方而，由①式得-<-・即>93.所以y只能为3,4,5,y2y26.如果)=3,那么丄=丄+丄冬2,所以ZW12,又丄v丄，故Z只可能为7,8,9
6、,10,11,12.当z=76ztzz6时，得『=42,于是得到方程的一组解兀=2,y=3,z=7,r=42；当z=&9,10,11,12时，分别得到r为24,18,15,—,12.于是得到方程的四组解：x=2,y=3,z=8,r=24；x=2,y=3,5~z=9,/=18；x=2fy=3,z=10,r=15；x=2,y=3,z=12,t=12若y=4,则丄=丄+丄冬2,所以zW8•又丄＞丄，故此时Z可能的值为5,6,7,8.当z=5,6,7,3zrz4z8时，分别得到『为20,12,—,8.于是又得到方程的三组解：x=2,y=4,z=5,
7、Z=20；x=2,3y=4,z=69r=12；x=2,y=4,z=8,r=8.3112若WJ—+得zW6，同时zN)=5・所以此时z只能为5.6.当z为5,6时，分10z/z别得到r为10,匕・于是又得到方稈的一组解：兀=2,y=5,z=5,r=10・21112若y=6,贝ij—=—+-W—,得zW6,又z$y=6.所以z=6.此时t=6.于是x=2,y=6,z=6,3ztz/=6为方程的一组解.与考虑x=2时的情形一样，考虑无=3,4的情形.可以得到方程的14组解xWyWzWf,即2,3,7,42；2,3,8,24；2,3,9,18；2,
8、3,10,15；2,3,12,12；2,4,5,20；2,4,6,12；2,4,8,8；2,5,5,10；2,6,6,6；3,3,4,12；3,3,6,6；3,4,4,6与4,4
