多功能题典高中数学竞赛-12

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1、6.4不可约多项式6.4.!★求所有的整数组(a,b,c),使得0v

2、q

3、v0

4、v

5、c

6、，且多项式/(x)=x(x-o)(x-b)(x-c)+1在Z[x]中可约(即可以分解为两个次数较低的整系数多项式之积).解析设/(x)=g(x)/?(x),g,hez[x]都是首一多项式，且1WdeggWdeg/?.分如下两种情形讨论.(1)若degg=l,则存在dgZ,使得d(d_a)(d_b)(d_c)=_1,但是-1不能表示为4个整数之枳，矛盾.(2)若degg=degA=2,设/(x)=(x2+/zx+9)住+r

7、x+f)•令兀=0及兀=(?,可知qt=(c2+pc+g)(c?+"+/)=1,于是q=t=±,c24-pc4-=c2+re+/=±1,这时由于

8、c

9、23,故由C24-pc

10、=C+p

11、•c,可知若c+°HO,贝ljc2+pc+q2c1+pc-1^

12、3-1=2,矛盾.故。=.同理c=-r.从而，应有/(X)=x(x-d)(x-b)(x-c)+l通过比较系数，可知a+b+c=2c,ab+bc+ca=

13、a+b,可知(a,b,c)=(1,2,3),(-1,-2,-3),(-1,2,1)或(1,—2,—1).评注熟知连续四个正整数之枳加上1是一个完全平方数，本问题是对这结论的反向思考.6.4.2*★设”为不小于2的正整数.证明：/心)=严+*一2+...+1在Z[x]中不可约的充要条件是疋为质数.丫"—1解析若刃为质数,记/(x)=xn_14-x"-2+•••+!=,令g(x)=/(x+1),贝!)/⑴与g(x)在Z[x]中同时可约，但g(x)=xw-1+Cy-2+...+Cr，,在艾森斯坦因判别法则中取质数

14、〃，可知g(x)在Z[x]中不可约,故/(x)在Z[x]中不可约.反过來，若n为合数，设n=pq,2WpWq,则/⑴=三#(対厂+…+0+1),而三卜严+..・+1为Z[x

15、中的非常数多项式.故/(x)在Z[x]屮可约.评注这里用到著名的艾森斯坦因判别法：设/(x)=Q"X"+…+。0丘Z[x]‘若存在质数p,使得⑴pat,z=0,1,2,…，n-:(2)p叫;(3)p2(E/o.则/⑴在0[x]中不可约.6.4.3★★设〃为一个奇质数，点0是正〃边形AlA2---A/)的屮心.证明：集合M={(?4

16、

17、/=1,2,…，»的任意非空真子集中各向量之和不等于6.解析不妨设0为复平面上的原点，两对应的复数为这里£』・利用上题的结论可知/(x)=l+x+…+在Z[x]中不可约，所以£的最小多项式的次数3p-(6.3.1的评注)，即£不是任何一个次数小于p-1的整系数多项式的根.若存在0H$U{1,2,…，〃},使工两=6,则工小=0・于是，结合/(£)=0,可知工0=0,jwSjwSjelS这里/={1,2,…，p}.将刃换成1,两式中有一个£的最高次数小于P-1.这导致£是某个次数小于卩-1的整系数多项式的

18、根，矛盾.所以，命题成立.6.4.4★★设at(/=1,2,…,町是〃个互不相等的整数.证明:/(x)=(x-aI)(x-a2)---(x-an)-l在Z[x]中不可约.解析若存在g(x),/z(x)gz[x],使/(x)=g(x)〃(x),这里dcgg,degh

19、『,但/'(x)的首项系数等于1,矛盾.所以，/⑴在Z[x]屮不可约.6.4.5^★★设多项式f(x)=allx,'+…+加+pwZ[x],这里％工0,p为质数，且£幻

20、

21、r

22、>1.事实上，若卜底1,则；=1>='这与条件孑盾.设/(x)=g(x)力(x),g(x),/?(x)eZ[x],首项系数分别为b、c,0

23、，而这些根的模都大于1,所以，

24、g(O)

25、>l,”(0)

26、>1.这与。为质数矛盾.所以,/(X)在Z[兀]中不可约.6.4.6*'*★设〃为正幣数，证明：(/+12)(/+22)...(/+川2)+1在Z[x]中不可约.解析当〃=1时，命题显然.对〃>1的情形，若/(x)可以表为两个次数大于0的多项式g(x)、力(x)的乘积，设g(x)=a()+%+•••+%•/,〃(兀)=+b、x-卜btxf,其中y.,®工