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1、2两同色点的距离小于2,即r=-是可行的.AXFCD图a28.2.8****设S为边长为1的正六边形内及边上的点组成的集合.求最小的厂，使得存在一种将S中的点三染色的方法，染色后任意两同色点之间的距离小于r.一方面，构造如下染法（如图a）：设正六边形ABCDEF的中心为0,过0作AF、BC、DE的垂线，垂足分别为X、Y、Z.对图屮标示的三个区域分别染上第I、II、【I【种颜色.特别地，点X、Y、Z分别染上第I、1【、III种颜色（其余区域交界处的点染成两侧区域中任一个的颜色）.这样，任一区域屮两点的最大距离为XY=YZ=ZX=-，且
2、取到这一最大值的两个点不同时属于这一区域.所以，任现考虑六边形边界上的点.对边界上任两点A'、把从川沿六边形的边界到所需经过的最小长度称为“与厅的边界距离（例如，4与E的边界距离是AF+FE=2）.可证：对0<£<1,必存在两个同色点的边界距离22-£・①否则，设每两个同色点的边界距离均小于2-£,则可用一条长为2-£的折线来盖住所有笫I种颜色的点，也可各用一条长为2-£的折线來盖住第II、III种颜色的点（沿六边形边界）.但3x（2-£）<6=1E六边形的周长，矛盾.所以①得证.设点M与W的边界距离$2-£.由于2-£>1,所以M
3、、N不可能在同一边上，分如下三种情形：（1）若M、/V在相邻的两边上（如图b）,贝9AM+AN^2-e,（2）若M、N在间隔的两边上（如图c）,则AM+AB+BN^2-e即AM+BN鼻一£・过作AB的垂线，垂足为M、、N、,则MN$M
4、N
5、=M"+AB+BN
6、»—£3£3/322222（3）若M、N在相对两边上，则MN2屈3V3>223V3、822综上（1）一（3）,存在两点M、N，使MN>--—c即r>--—r=>limr&lim2222eto*eto*3综上两方面,缶斗解析二r=-时是可行的见解法一，下证r<-时，这种染色
7、是不可能的.22考虑六边形内切圆上的点.设A是这个圆上的一点，又设B、C为圆上的另两点，使ABC构成正三角3形，则AB=AC=BC=~,所以A、B、C必须染成三种颜色.233由于r<-,存在£>0,使得厂+£<—.若A'为圆上另一点，满足AA'r,A'C>r,但B22与C染不同颜色，所以4’必与A相同颜色.所以，对任意两个距离小于£的两点，必须染成同一色，从而整个圆将成一色，矛盾.28.2.9***求最小正整数几（〃23）,使得平面内任意无三点共线的斤个点中，必有三点是一个非等腰三角形的顶点.解析首先若平而内6点是一
8、个正五边形的5个顶点和它的中心时，以这6点为顶点的所有三角形都是等腰三角形.故所求正整数心・其次，若存在平面7点（其中任意3点不共线），使以这7点为顶点的所有三角形都是等腰三角形.记这7点的集合为E.不妨设E中距离最远的两点为A、B.分别以A、B为中心，AB为半径作圆弧相交于M、N两点.记诙N,?2=线段MN・任取PwE,P^A,P*B,则APAB为等腰三角形.于是下列三种情形至少有一个成立：①PA=PBWAB；②PA=AB$PB；③PB=AB$PA,所以Pel}Jl2.因为E中无三点共线，故厶上至多有E中2点，于是穴M、BM.辰
9、、呦V(不含端点)内至少有E中7-2-2=3点.不妨设劝V上有E中一点C(ChB,CHN)，且de内无E中的点.再分别以A、C为中心，以AC=AB为半径作圆弧交于AT、M两点.记£二财财U财'CN,厶=线段M'M,同理£中的点全部属于/3U/4.所以且©C内无E中的点.所以EcWbu&vU{a}U{o}U{t}U{R}，其中。点是厶与右的交点，丁是?2与肪Q的交点，尺是厶与加的交点.记S严WtbU{7}，S2=0VU{R}，则5,U52±至少有£中不同于A、B、C的7-3-1二3个点.所以,或S?上至少有E中不同于A、B、C的2点.
10、不妨设S?上有E中不同于A、B、C的两点P、Q,则只有下列两种情形.(1)化On,Qw0V(如图a).因为△PBC为等腰三角形，且PB>BC,所以PC=BC.同理由△QBC为等腰三角形，得QC=BC.所以CP二CQ,即C在PQ的中垂线上，但PQ的中垂线只通过A而不通过C,矛盾.（2）Pw0N,Q=R（如图b）,同（1）可得PC=BC.M图b又△RBC为等腰三角形，且BR=BN>BC,所以RC=BC,所以RC=PC=BC.在ZXBCP与△BCR屮，BC=BC,C=RC,ZBCP2ZBCN>ZBCR,所以BP>BR・这与BPWBN=BR
11、矛盾.可见平面内不存在7点(其中任意三点不共线)，使以这7点为顶点的所有三角形都是等腰三角形.综上知，所求最小正整数«=7.28.2.10***求平面直角坐标系中.格点凸五边形的周长的最小值.解析设此凸五边形的5个顶点依次为人、血含、
