多功能题典高中数学竞赛-40

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1、解析在y=F(例女口兀=2,y=8)时，P=0.在y>兀•'时，屮匸匚匚<丄冬1,户不是整数，所以yWF,P只能是非负整数.}+xyxy由①得歹二兀P•②xP+p9_py为正整数.换句话说，对任意大于1的整数令取兀=ps,贝ljy=—^=P(P4-1).在P>1吋，P4+1x=ky=k(k4-l),^P=k.最后，如果P=1,则由②，x3-l9]2y==x"-x+1.x+1x+1从而x+l

2、2,x=1,y=0,与y为正整数矛盾.因此，P可为0及一切大于1的整数.19.2.26★★证明：如果自然数a、b>p>q>r>$满足qr-ps=1.那么bMq+s•q

3、bs解析由己知条件得，=—上竺>o.因此两一切$1,br-as^.分别bqbqsbbs乘$、g再相加得b(rq-ps)2q+s,即b2q+s.19.2.27★★十进制的数中，若某个数字在小数点后出现的数位成等差数列，则称它为周期的数字.证明：在十进制中，区间(0,1)中的任意无理数，至少有一个数字不是周期的.解析设Ag(0,1),A中出现的数字为J，…，S，每个数字重复出现的周期分别是£，爲，・•・，乙，这些周期的最小公倍数为丁，易见厂个数字的数组将周期性地重复，因而人是循环小数，即有理数.19.2.28★★已知两个十进制的纯循环小数的和与积都是周期为T的纯

4、循环小数.证明这两个小数的周期不超过7解析设这两个循环小数为b・a+b是周期为T的纯循环小数，所以(1(7-l)(d+b)是整数.同理(107-1)67/2也是整数.令A=(10r-l)6Z,B=(10r-1)Z?.①则A+B=(107'-l)(«+/7),AB=(t-)2abf都是整数.因而A、B是一个整系数的首一的二次多项式的根，即二次方程兀2一(w—i)(a+b)工+(心一1)2“=0的根.由于首项系数为1,所以两个有理根都是整根.4、B都是整数.由①，a、b的周期不超过719.2.29★★★互质的正整数几、q“,满足—=1+丄+丄+…+丄.①

5、绻23n32372x7H，K订’忆’77’?9试找出满足31几的所有正整数八解析nW2时，心2满足要求：1+丄二二，分子被3整除.设并且3

6、几.这时①式右边的分数，有分母被3整除的.设其中分母最多被¥整除，则3*Sv3'+,.将既约分数分层.第1层是分子被3整除的分数，笫0层是分子、分母都不被3整除的分数，笫-1层是分母恰被丁整除的分数，第-2层是分母恰被¥整除的分数，…，第层是分母恰被3“整除的分母.设1,2,…，n的最小公倍数为A/-33(M,则q”+M・将1,丄，…，丄中的分数分层相加.在第从层的分数，相加所得的和S应至少升上一层，即S的分2n母至多被

7、3"T整除.否则，在等式厶"=(1…]—14HS的两边I司乘得绻I2丿3(2丿%(\(IA=37]+—+•••+3*%]+—+••■+…+3_皿，I2丿I2)左边为整数，右边其他项为整数，但最后一项是分母为3的既约分数.这不可能.同理，第-伙-1)层的分数相加，并加上升上來的S,和也应至少升上一层.依此类推.最后总的和应当升到第一层.£=1时，〃v9.第-1层必须有两个分数相加，即-+-=第0层的分数有1,丄，丄，丄，可能362245还有丄，由Tl+-=-,丄+-=—.所以这一层的和加上升上的丄，要升上一层，必须有分数7822454x52丄，而不能有丄丄+丄

8、=丄.于是这时«=7.78727x2^=20寸，«<33=27•第-2层必须有两个分数相加，即4+—=.第-1层的分数有丄，-xl,3-2x3-32332-X-,-X-,可能还有丄X丄与-X-.由于1111-+-X—=—,3322—x—I—x—=.^)34354x5'所以这一层的和加上丄x丄，要升入上一层，必须有-X-,而不能有-X-.所以n<24.由于②及323738111131334x52x7+丄=二一・所以升入0层的分数为丄(丄与二-已升入第1层).丄1_27522_5x221127——H=7207x2011271=131413x14所以在。层的分数必

9、须有存而没有召即心2.在"3吋，与上面的做法完全-样.笫"层有j*x*(n<3如).升入笫-(k-1)层的和为第十D层分母最大的分数为卜右(皿対为，升入十2)层的和为卜(-k+3)层的和为{1F(4x52x7丿3*第(*2)层分母最大的分数为护右0x23x3-2)升入升入(-£+3)层的和为0(参见③).第(-£+3)层分母最大的分数为丄x^t或丄x点或丄x点.但这653673683一层，每两个相邻分母的和均至少升上一层：1+丄二丄+丄=丄22454x511135—+—=676867x68而从(-£+1)层升上的111717112791=91=4x52x714

10、014067140x6717F1401