多功能题典高中数学竞赛-25

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1、13.2.11**令△/BC为卩平面上的一个直角三角形，C为直角，斜边长为60,从/和3引出的中线分别在直线y=x+3,y=2x+4上，求S’ibc.解析如图，设中线AD=3t,BE=3s,重心为G,40和恥所夹锐角ZAGE=&,并设AC=2p,BC=2q•由于AD、BE所在直线方程为尹"+3,y=2x+4,则这两直线所夹锐角之正切得tan6-S'age1-21+1x2I•于是皿靑设HABC的面积为S△亦二S•则S=6S△宓.又寺G・G5&冷2心.1_stx/io_4o2pq由勾股定理得AC2+BC2=4p2+4(/2=AB2

2、=3600,p2+^2=900.AC2^CD1=AD1BC2+CE2=BE2,4p2+/=卯4q2+t?2=9s2于是，由S=6Sage=彳导q2_36“2_184p2+^r24q2+p2o=SI—105992~457o=—18002+-S24514=144000+丄炉10解得5=400.13.2.12**已知定点O及两条互相垂直的定直线,/2.过O作两条成直角的动直线，一条交*于P，一条交h于Q,。在PQ上的射影为求/?的轨迹.解析以O为原点，过O且与厶平行的直线为x轴，建立直角坐标系.设厶的方程为y=k,①厶的方程为x=h

3、,②这里k,h都是己知数.设尸0的法线式方程为xcosa+ysina-p=0,③则人点的坐标为x=pcosa»y=psina.④由①，③得0点的坐标为p-ksinacosa由②，③得p点的坐标为p-hcosaysina)由"丄及⑤，⑥得+=即cosasinahpsma+kpcosa=kh•⑦将④代入⑦即得人点的轨迹为kx-vhy^kh.这是一条直线，它在x轴、y轴上的截距分别为力，k.也就是说设厶与X轴的交点为R「h与y轴的交点为人2,则直线尺鸟就是所求的轨迹・13.2.13**直线厶和厶均通过原点，与x轴的正方向在第一彖限中

4、分别形成△和兰的夹角.对于任意一127054条直线/进行变换，记该变换为得另一条直线R⑴,变换7?为：/先经厶反射，所得直线(即以厶为对称轴，/的轴对称图形)再经厶反射，得到R⑴.令人⑴(/)=人“)，对于心2,定义r(/)=/?(r-,(/))・已知：直线/为y=—x・试求：使得R何⑴=/的最小正整数〃7・92解析设入和2是过原点与X轴成％和&角的两条直线.当几通过入反射，所得到的直线/应与X轴成仇+(仇-&)=2仇-&角.这样，如果2经过厶反射，则反射所得直线入为一通过原点且与兀轴成--0角的直线，而直线人经过厶反射所得直

5、线入是通过原点且与x轴成—=—+&角70~5470)945的直线.故心2)应是将直线2以原点为轴旋转無弧度所得之直线，而0”)(2)是旋转罟弧及所得之直线.欲使R{n,A)=A成立，则曇必须是一个整数.由于(945,8)=1,则加的最小值应为945.13.2.14**在直角坐标系中，HABC的顶点分别为力(0,0),B(a,b),C(c,O)(如图).在力3边所在的直线上任取一点过卩点向/C引垂线，垂足为0,直线30和CP的交点为人，试求点人的轨迹方程，并判定是什么曲线(其屮b>0,c>Ofa^c)?解析设。的横坐标为q,则

6、P点的坐标为q,-q,BQ方程为(a-g)(p-b)=b(x-°)…①，CP方a)程为(g_c)y=?g(x_c)…②，rfl①、②消去q并整理得b2x2—2abxyaa-cy2-b2cxA-2abcy=0•••aAA=BD③，可知③式就是点R的轨迹方程.它是二次方程，其判别式3=AC-B2=-ab2c,CE=一"c仏一°),(1)当avOR寸，5>0,△HO,③为椭圆；(2)当a>0时，》v0,A#0,4EF③为双曲线；(3)当a=0时，J=0,A=0,3点在尹轴上.③是直线兀=0与x=c・但兀=c不合要求应当排除.

7、13.2.15**尹33,边在X轴上.已知点0(0,1)与直线MC及BC的距离均为1,求△/BC面积的最大值.解析设力点坐标为(a,0),则/C方稈为仝工=2，即一几(x—a)+p(xo_a)=o・点0(0,1)到/Cx°_a几的距离为1,所以严+兀_牛=],整理得J忧+(观一(几-20+2押-几=0,①①的两个根勺、即/、B的横坐标，所以

8、/B

9、=同_=2J兀+%_2儿，由于c(x°,几)满'几-2几_2足x；+y；-2y0W8‘尹°N3‘所以s△朋c=^y()AB=3"0JA+允一2几2必-2(2)wVii+^—W6运

10、，k必-2丿即S△硕最大值为6血(在C为点(±75,3)时取得).13.2.16***在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线厶，/2，…，/”，…的直线族，它满足条件:(1)点(1,1)6”，心1，2,3,…；(2)k沖=j—b“,其中人是厶的斜率，休“是/曲的斜率，Q”