专题7.6：和圆有关的十一类轨迹问题的研究与拓展

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1、专题7.6：和圆有关的十一类轨迹问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知在中，的最大值为__________变式：函数，当时，在中，，且BC=1，若E为BC中点，则AE的最大值为_____________.（或者利用向量的中线模型加以转化）探究2：如果圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数m的取值范围为___________.变式1：在平面直角坐标系中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数的取值范围是________两圆内含和内切变式2：若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线斜率的取值范

2、围是___________.变式3：在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.解：（1）切线方程为或（2）命题背景：阿波罗尼奥斯圆；转化为两圆的位置关系问题处理答案为探究3：平面内到A(0，-3)的距离为1，到点B（4,0）的距离为2的直线有______条.变式：在平面直角坐标系中，若与点的距离为且与点的距离为的直线恰有两条，则实数的取值范围为__________考察圆与圆的位置关系，研究公切线的条数探

3、究4：写出以，,为直径的圆的方程________________.变式1：若实数a,b,c成等差数列，点P（-1,0）到动直线上的射影为M，已知点N（3,3），则线段MN长度的最大值为____________变式2：若点G为的重心，且AG⊥BG，则的最大值为变式3：在中，边上的中线和边上的中线互相垂直，交点为，则的最小值为________两条中线所在直线作为两坐标轴建系拓展：将命题“圆上任意一点对直径的张角为直角”类比到椭圆和双曲线有怎样的结论？探究5：点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB＝2，若点A从(，0

4、)移动到xyBB´AA´ODD´(，0)，则AB中点D经过的路程为.单位圆变式：如图，线段的长度为1，端点在边长不小于1的正方形的四边上滑动，当沿正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若的周长为，其围成的面积为，则的最大值为．拓展：若M点是线段EF上任意一点，则M点的轨迹是什么？探究6：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什么关系？拓展：已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的

5、研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一问题1：如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆.圆的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程解：以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则（-2，0），（2，0），由已知，得因为两圆的半径均为1，所以设，则，即，所求轨迹方程为（或问题2：已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与

6、MQ

7、的比等于常数λ(λ>0).求动点M的轨迹方程，说明它表示

8、什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.解：如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P={M

9、

10、MN

11、=λ

12、MQ

13、}，式中常数λ>0.——2分因为圆的半径

14、ON

15、=1，所以

16、MN

17、2=

18、MO

19、2－

20、ON

21、2=

22、MO

23、2－1.——4分设点M的坐标为(x，y)，则——5分整理得(λ2－1)(x2+y2)－4λ2x+(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程.——8分当λ=1时，方程化为x=，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交

24、x轴于点(，0)，当λ≠1时，方程化为(x－)2+y2=它表示圆，该圆圆心的坐标为(，0)，半径为——12分问题3：满足条件AB=2，AC=BC的DABC的面积的最大值是_________．问题4：已知点A(-2,0)，B(4,0)，圆，P是圆C上任意一点，问是否存在常数l，使得？若存在，求出常数l；若不存在，请说明理由．变式1：已知点A(-2,0)，圆，P是圆C上任意一点，问：在平面上是否存在点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．变式2：已知点A(-2,0)，B(4,0)，圆，P是圆C上任意一点，

25、若为定值，求b的值．拓展1：设圆，动圆，探究：平面内是否存在定点，过点作圆的一条切线，切点为，过点作圆的一条切线，切点为，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点；如果不存在，说明理由.·COxy·MPT1T2拓展2：在△中，点在边上，且，，则实数的取值范围为.解：建立如图1所示平面直角坐标系，令，由得到：，即有，那么点的轨