高中数学—-指数函数与对数函数

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1、指数函数、对数函数问题例题剖析：设f(x)=log2,试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；解析：(1)a.定义法：由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则F(x2)－F(x1)=()+(),∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.b.单调性：由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，则，显然在定义域上（-1，1）是增函数函数在定义域上（-1，1）是增函数。C.导数法：（理科）=∴函数在定义

2、域上（-1，1）是增函数。典型例题：例1：已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.答案：(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率：k1=,OD的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即

3、O、C、D在同一条直线上.(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2即：log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(，log8).例2：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0

4、,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由.解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000().(2)∵函数y=2000()x(0bn+1>bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)

5、减的正数数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1.于是当bn≥1时，Bn

6、+1)－D.g(x)=－,h(x)=lg(10x+1)+2.当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是()二、填空题3.已知函数f(x)=.则f-－1(x－1)=_________.4.设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有

7、f(x)－g(x)

8、≤1,试确定a的取值范围.5.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断［f

9、(x1)+f(x2)］与f()的大小，并加以证明.6.已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.7.设不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值.参考答案1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1)①又g(－x)+h(－x)