概率论的基本概念经典习题-1

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1、《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第10章经典习题之一第83页共14页经典习题—古典概率部分1、设为随机事件，且。⑴．若相互独立，则；⑵．若互斥，则；⑶．若已知，则；⑷．若已知，则，，，。■2、设为随机事件，且，证明:⑴.若，则独立；⑵.若，则。证明:由于，故⑴.若，则，故，即独立；⑵.若，则，故。■3、设，则。证明:。4、进行次独立重复试验，每次试验中事件发生的概率都是，若发生次，则发生的概率为，求发生的概率。解:用表示在次独立重复试验中事件发生次，则，故。■83《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第10章经典习题之一第83页共14页5、进行独立重复试验，直到事件发生为止，若每

2、次试验中发生的概率都是，求迟早要发生的概率。解:用表示在第次试验中事件发生，表示迟早要发生，则，故，只要试验中发生的概率，则在独立重复试验中，迟早会发生。■6、把一个表面涂上颜色的正立方体锯成个大小相同的小立方体，再将它们充分混合后，放回地随机取个，其中为自然数，求所取的个小立方体中，个面上有颜色的个数恰为的概率。解:以正方体的某一顶点为原点、过该顶点的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设正立方体的棱长为，则将其锯成个大小相同的小立方体，就是沿三组平面:锯开，这样锯开后:只有位于原来立方体顶点处的小立方体之三面有色(共有个)，位于原来立方体棱上的小立方体之两面有色(出去顶点处的8

3、个，共有个)，位于原来立方体表面的小立方体之两面有色(出去顶点处的8个及棱上个，共有个)，其余个是表面无色的，用表示任取的一个小立方体是面有色的，则，故所取的个小立方体中，个面上有颜色的个数恰为的概率为:，其中为整数，且。■7、某种商品的商标应为“”,其中两个字母脱落,有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“”的概率。解:用表示脱落的字母为商标“”中第个字母(从左数起)，，用表示将脱落的字母放回后仍为“”,则83《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第10章经典习题之一第83页共14页，，故。■8、设有个人，是其中的两人，在下列情形下，分别求之间恰有人的概率:⑴.人排成一排；⑵.人排成一圈

4、。解:用表示试验的样本空间，表示所求的事件，则问题是古典概率问题。⑴.若人排成一排，则，而事件发生当且仅当“排在第个位置，而排在第个位置”或“排在第个位置，而排在第个位置”，，故，从而之间恰有人的概率为:；⑵.若人排成一圈，则此时以所在的位置为第一位，按顺时针方向依次为第位，从而，而事件发生当且仅当“以所在的位置为第一位，按顺时针方向计算，排在第个位置，或排在第个位置”，故①．若为奇数，则，故；②．若为偶数，则，故；上述①②还可以统一表示为:。■83《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第10章经典习题之一第83页共14页9、从双不同尺码的鞋子中随机地取只，求所取的鞋子中恰好有只能配成

5、双鞋的概率(其中，且)。解:用表示试验的样本空间，表示所求事件，则很显然这是古典概率问题，且，，故。■10、设有个袋子，每个袋中装有种颜色的球，其中第个袋中所含第种颜色的球数为，先随机地取一个袋子，再从所选的袋子中随机地取一球，求所取的球是第种颜色的概率。解:用表示选袋子时，选到的是第个袋子，表示最后取到的是第种颜色的球，并记，则，在由全概率公式得。■11、工厂检查产品质量时，对每批产品进行放回抽样检查，如果在抽取到件时发现次品，则立即停止检查，并认为这批产品不合格；如果连续抽取的件都合格，则也停止检查，并认为这批产品合格。若某产品的次品率为，求这批产品抽检的样品数为的概率。解:用表示

6、抽检的第件样品合格，表示这批产品抽检的样品数，则。■12、为了估计某湖中鱼的数量，捕捉了条鱼，给其做上标记后放回到湖中，再从中重新捕捉了条鱼，结果发现有是做了标记的，问湖中有多少条鱼的可能性最大?解:设湖中有条鱼，其中做了标记的有条，其余是未做标记的，则湖中重新捕捉的条鱼中有条做了标记的鱼的概率为:，由于，故时，是单调递增的，而时是单调递减的，从而的最大值点为，故湖中有条鱼的可能性最大。■83《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第10章经典习题之一第83页共14页13、设袋中有只白球，只黑球，现丢失一只球，但不知其颜色，为了确定其颜色，从袋中随机地取球，发现其中有只白球，其余为黑球，

7、问丢失的那只球最有可能是什么颜色?解:用表示丢失的那只球是白球，表示从袋中随机地取球，发现其中有只白球，则:　，　若，则丢失的最有可能是白球，否则，丢失的最有可能是黑球。■14、设人每人携带一件礼品参加聚会，聚会开始后，先把所有礼品编号，然后每人任抽一个号码，按号码领取礼品，求领到自己带来的礼品的人数之概率分布及其数字特征。解:用表示第人领到自己带来的礼品，则对任意的自然数，有，故，。　特别(分布)，，，。■15、设袋子有种不同颜色的球，其中第