概率论的基本概念经典习题-

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1、P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(A)P(B/A)P(AjB)P(A)P(B/A)P(A/B)经典习题一古典概率部分1、设为随机事件,fi0

2、B)P(A/B),P(B)=P(A一B)二P(A)-P(AB)二P(A)[1-P(B/A)],P(AJB)=P(A)+P(B-A)=2、设A,3为随机事件，MOP(A),则P(B/A)>P(B)e证明：由于0vP(A),P(B)vl,故⑴.若P(B/A)=P(B/A),则P(AB)P(A)=P(B/A)=P(B/A)=p(Ab)P(A)P(B)-P(AB)1—P(A)故P(AB)=P(A)P(B),即A,B独立;(2).若P(A/B)>P(A),则P(AB

3、)=P(B)P(A/B)>P(A)P(B),故P(B/A)P(A)~P(A)P(B)P(A)=P(B)o3、设P(A)+P(B)=1,则P(AB)=P(AB).证明:P(AB)=P(AUB)=1-P(4UB)=1-P(A)—P(B)+P(AB)=P(AB)。4、进行斤次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率都是P(A)=q>0,若A发生£次，则B发生的概率为几,£=0丄,求B发生的概率。解：用人.表示在斤次独立重复试验中事件A发生k次，则P(AJ=C@m故p(b)=为p(4)p(b/4)=工cgayj。0

4、，若每次试验中A发生的概率都是P(A)=a>0,求A迟早要发生的概率。解:用4表示在第k次试验屮事件A发生，B表示人迟早要发生，则P(Ak)=a>0,故P(B)=ZW2-w,)=z0(1-刖T=l,只要试验中A发生的概率P(A)=a>0,则在独立重复试验中，A迟早会发生。■6、把一个表面涂上颜色的正立方体锯成N=个大小相同的小立方体，再将它们充分混合后，放回地随机取/个，其中m>39n>1为自然数，求所取的兄个小立方体中，匕个面上有颜色的个数恰为林,鸟=0,1,2,3的概率。解：以正方体的某一顶点为原点、过该顶点的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设正立方体

5、的棱长为。>0,则将其锯成N=m3个大小相同的小立方体，就是沿三组平面：x=ia/m,y=ja/m,z=ka/m,i,=1,2,・・•，加一1锯开，这样锯开后：只有位于原来立方体顶点处的小立方体Z三面有色(共有®=8个)，位于原来立方体棱上的小立方体之两面有色(出去顶点处的8个，共有弘=12(加-2)个)，位于原來立方体表面的小立方体之两面有色(出去顶点处的8个及棱上加2个，共有加

6、=6(加-2)2个)，其余m0=(m-2)3个是表面无色的，用4表示任取的一个小立方体是2•面有色的，则若Z=06(m-2)2/m3,若i=1Pi=P(4)=叫［N=<,12(加—2)

7、/莎，若心28/tn',若i=3故所取的〃个小立方体屮，k个面上有颜色的个数恰为母北=0,1,2,3的概率为:(肌_2)3呦+2丹+七3曲+七2比+2七+3巾亦其中05兀0，兀［,兀2，兀3<斤为整数，且Xo+x(+x2+兀3=no7、某种商品的商标应为“AMXAM”，其中两个字母脱落，有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。解:用州表示脱落的字母为商标“MAXAM”中第门个字母(从左数起)，l

8、-A4个人,a,b是其中的两人，在下列情形下，分别求a,b之间恰有£人的概率：⑴.m>4人排成一排；(2).m>4人排成一圈。解:用Q表示试验的样本空间，入表示所求的事件，则问题是古典概率问题。⑴.若m>4人排成一排，则

9、Q

10、=m!,而事件&.发生当且仅当“。排在第i个位置，而方排在第(i+R+1)个位置”或“/?排在第i个位置，而a排在第Q+P+1)个位置”，i=1,2,…，加一R-1,故4=2(m-k-l)(m-2)!f从而a"之间恰有k人的概率为：⑵.若m>4人排成一圈，则此时以a所在的位置为第一位，按顺时针方向依次

11、为第2,3