微分流形,第1章

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1、微分流形讲义曹策问2006年2月引言在自然科学发展史上，微积分的发明，是一个划时代的事件。它是从常量数学到变量数学的转折点；也是从平直、线性数学向弯曲、非线性数学的过渡。微积分方法的核心，基于弯曲与平直关系的恰当处理。从圆周长公式到圆面积公式的推导过程，包含了微积分方法的要点，简言之就是：“曲---直---曲”。从圆心向外引若干条射线，面圆被剖分为若干个小扇形。将每个小扇形弯曲的一边用直线代替，就成为一个等腰三角形：腰长等于半径，底长近似地等于被替换掉的圆弧的长。这样，圆就被一个多边形所代替。多边形面积等于

2、各个小等腰三角形之和:(底高)(底)高。当剖分越来越细，多边形面积越来越逼近圆面积。分划趋于无穷时，三角形底长之和趋于圆周长，高趋于半径，多边形面积也就趋于圆面积:。这样，在局部上（无穷小范围内），以直代曲，通过极限过程，得到弯曲图形的面积。微积分中最关键的，同时也最引起争议的，是无限分割中产生的“无穷小量”的计算。在科学史上曾对此争论不休。随着微积分的逻辑基础的逐步建立，更重要的是随着微积分方法大批卓有成效的出色应用，这门学科站住脚了，蓬勃发展了。历史上第一个令人震惊的应用，属于微积分的发明者之一牛顿。他

3、证明，刻卜勒通过总结天体观察发现的行星运动三定律，是引力定律（平方反比律）的逻辑推论。这的确是人类理性的一次重大胜利。微积分是关于弯曲的科学。微积分研究弯曲空间的局部性质相当成功。随着自然科学的深入发展，弯曲空间的整体性质的重要性，日益显露。在微积分的基础上不断更新发展，出现了微分流形、微分拓扑，大范围分析等等新学科。12从历史上看,微分流形有三个来源：几何。首先是球面。一张地图描述不了地球；需要一本地图集。地图(chart)、地图集(atlas)，已演化成微分流形的专门术语：坐标卡，坐标卡集。整体几何中的

4、曲线与曲面提供了微分流形的丰富例子。力学。将约束系统的运动，看成弯曲空间中的运动，这是Lagrange的出色想法与贡献。例如，平面单摆可视为质点在圆周上的运动，平面双摆可视为质点在环面上的运动。武术中的三节鞭，视为球面三摆时，构形空间是一个有趣的六维流形。约束系统的构形空间，提供了微分流形的大量例子。重要的是，高维流形在现实世界中以约束系统的构形空间的形式出现，加强了流形论的实际应用意义。函数论。Riemann在研究复变函数的反函数时，遇到了多值函数。通过粘贴几叶复平面，实现了多值函数的单值化。或者说，多值

5、的复杂性转化为多叶Riemann面的几何复杂性，化成了流形问题。多项式方程的解集合，提供了更为丰富的微分流形的例子。例如二维复数空间中的方程（准确说，是二维复射影空间中）：的解集合称为超椭圆曲线，在拓扑上同胚于一个带个环柄的球面，等于的整数部分。在数学结构上，流形论是一个不可缺少的部分。简而言之，集合论位于“包含与从属”的层面，拓扑学位于“连续性”的层面，而流形论则位于“可微性”的层面。流形的局部理论，秉承了微积分的核心技术：弯曲与平直关系的恰当处理。例如流形在一点的线性化产生切空间；流形之间的映射在一点的

6、线性化产生切映射；其中使用的，便是典型的微积分方法的延伸。切空间与切映射属于流形论中最基本的概念。流形的整体理论，则综合运用拓扑，代数，分析，几何等诸多领域的概念和方法，揭示微分流形的整体性质，以及整体性质和局部性质的关系，构成流形论丰富多彩的内容，例如Stokes公式，Gauss-Bonnet公式，同调与上同调的deRham对偶理论等等。12第1章多元函数与映射多元微积分是构建流形论的重要基础之一。最简单的多元函数是线性函数，它与向量的相互作用，构成线性对偶理论，是线代数基本内容之一。流形论中的切空间和余

7、切空间，向量场和微分形式，也都是由此发展出来的线性对偶。流形的积分理论中，由积分区域与被积表达式发展出来的同调群与上同调群的deRham对偶，属于线性对偶理论的高级形态，深刻地刻画了流形的整体拓扑性质。多元微积分的基本对象是多元映射，它的分量是多元函数。最简单的多元映射是线性映射，给定向量空间的基以后，它表现为矩阵。内容更加丰富的是非线性映射，有更多的应用，也更困难。微积分处理非线性映射的基本手段之一，是研究它的微分（切映射），即将它在一点处线性化得到的线性映射；其坐标表示是Jacobi矩阵，它在相当大的程

8、度上刻画了非线性映射在一点处的行为，基本内容由秩定理给出。秩定理是非常重要的工具。也是研究子流形的基础。§1.1线性对偶1.1.A对偶空间。设为向量空间，称映射为线性函数，若：,,。两个线性函数,的线性组合，是一个新的线性函数，取值为：,。上全体线性函数,配上线性运算，成为一个新的向量空间，称为的对偶空间，记为。的元素，即上的线性函数，称为余向量(covector)。引进配对符号：，则上述两组线性关系可以写为对称