第2章微分流形与可微映射.pdf

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1、第2章微分流形与可微映射一、一些拓扑概念1、拓扑空间设X为非空集合，为X的子集族，满足条件：1）X,2)若A,B,则AB3)若,则A1A1则称为X的拓朴，称(,)X为拓朴空间，的每个成员称为开集。由距离导出的拓朴定义1设(,)Xd为距离空间，aX,r为正实数，令Bar(,){xxXdax,(,)r}，称其为以a为中心，r为半径的开球或邻域。定义2设(,)Xd为距离空间，GX,若对aG,0使B(a,)G,则称G为X中的开集，开集的余集称为闭集。定义3设(,)X是一个拓扑空间，xX，如果U是X的一个子集，满足条件:存在一个开集

2、V使得xVU，则称U是点x的一个邻域.2、相对拓扑和子空间设Y为拓扑空间(,)X的非空子集，则{}AYA是Y的拓扑，称为Y（相对于的）相对拓扑，拓扑空间(,Y)称为(,)X的拓扑子空间。Y13、连续映射与同胚映射定义1设X和Y是两个拓扑空间，fX:Y.如果Y中每一个开集U的原1象fU()是X中的一个开集，则称f是从X到Y的一个连续映射。或者定义1′设X和Y是两个拓扑空间，fX:Yx,X，如果fx()Y的每1一个邻域U的原象fU()是x的一个邻域，则称映射f在点x处连续。如果f在每点xX连续，则称f是从X到Y的一个连续映射。1定义2设XY,为拓扑空间

3、，若fX:Y为在上的1-1映射，并且f和f都连续，则称f为从X到Y上的同胚映射或同胚。注：恒同映射是同胚，同胚的逆是同胚，两个同胚的复合是同胚，ab例R同胚于任一开区间(a,b)（如fx()tan(x)).ba24、连通空间设(,)X为拓扑空间，若XABAB,,，且A,B非空，AB，则X称为非连通的，不是非连通的拓扑空间称为连通拓扑空间。注（1）定义中开集A,B，可改为“闭集A,B”（2）(,)X连通X的子集中只有X和是既并且闭的。定义设YX，若(,

4、Y）是非连通（或连通）的，则Y称为非连通（或Y连通的）子集。2例（1）有理数集Q作为R的子空间是不连通子

5、集。（2）设r为无理数，则(,)rQ((,]rQ)是Q中既开且闭的非空子集。（3）实数空间R是连通的。（4）利用连通性是拓扑性质可证(a,b)连通。（5）多于两点的离散拓扑空间不连通。5、可数性设(,)X为拓扑空间，如果对每一点xX，存在x处的一个可数局部朴基（即点x有一个可数邻域族B{}U，使得对x的任何领域U都有UB满足xxxUU)，则称(,)X为第一可数的拓扑空间(A1).如果(,)X有一个可数拓扑基，则称(,)X为第二可数的(A).2例1，实数空间R是第二可数的.令B(,)rrR,rr为有理数，则B是R的可数基.事实上，若U为R的1212

6、开集，则xR，有0使(x,x)U.任取有理数a,b使xxxxxxaxbxxxxx则x(a,b)U且UU(,)abxxxUxx1例2每一度量空间都是第一可数的.x(,),XB（{Bx(,)nN}为xnx的可数局部基.1事实上,设U为x的领域,则存在0使Bx(,)U.取n,则1xB(x,)U.n结论（1）第二可数必第一可数3n（2）R的任一子空向均是A和A的216、分离性如果拓扑空间(,)X的任意两个不同的点有不相交的开邻域，即xy,Xx,y，存在UV,,使得xUyV,,并且UV,则称(,)X为Hau

7、sdorff空间或T（满足第2分离公理）空间。2定理距离空间是Hausdorff空间。证对(,)Xd,令{}GG是中的开集X，则它是X的拓朴，称为由距离d导出的拓朴。事实上，显然X,，即1）成立。对AB,,aAB,则且aAaB,从而,使Ba(,)A,ABABa(,)B.取min{,}，则0,且Ba(,)AB,故AB,即2）BAB成立。对任意个G,iI,aG,则iI使aG,从而0,使iiiiIBa(,)GG,故G,即3）成立。iiiiIiI此外，分离公理成立。xy,Xx,y记dxy(,)2

8、,取EB(x,),EB(y,),如果12zEE,则12d(x,z)d(z,y)d(x,y)与三角不等式矛盾，故EE,从而(,)X是Hausdorff空间。127、紧致性定义设(,)X为拓扑空间，A是X的开集构成的集族，如果AX，则AA4称A为X的一个开覆盖。若A的一个子族A也是X的一个开覆盖，则称A是A00的一个子覆盖。若A是有限集族，则称A为A的一个有限子覆盖。00定义（1）设(,)X为拓扑