假设检验计算和证明题

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1、《数理统计》试题库假设检验1设取自正态母体其中为未知参数,为子样均值,对检验问题取检验的拒绝域:,试决定常数c使检验的显著性水平为0.05.解:因为所以在成立下,,所以C=1.176.2.设子样取自正态母体已知,对检验假设的问题,取临界域.(i)求此检验犯第一类错误的概率,犯第二类错误的概率,并讨论它们之间的关系.(ii)设,求时不犯第二类错误的概率.解:(i).在成立下,,其中是N(0,1)分布的分位点。13在H1成立下,,=当增加时,减少,从而减少;反之当减少时,将导致增加。(ii)不犯第二类错误的概率为1-。=3.设一个单一观测的子样取自密度函数为f(x)的母体,对f(

2、x)考虑统计假设:试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足,并求其最小值。解:设检验函数为([C,1]为检验拒绝域)=要使达到最小,当1-4x时,=0;当1-4x<0时,=1.所以检验函数应取,此时13.4,设某产品指标服从正态分布,它的根方差已知为150小时,今由一批产品中随机地抽查了26个,测得指标的平均值为1637小时,问在5%的显著性水平下,能否认为这批产品的指标为1600小时?解:母体,对假设采用U—检验法,在H0为真下,检验统计量观察值为时临界值。由于,所以接受,即不能否定这批产品指标为1600小时5某电器零件的平均电阻一直保持在2.64均方差保持在0.06.

3、改变加工工艺后测的100个零件,其平均电阻为2.62,均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?取显著性水平。解:设改变工艺后,电器零件电阻为随机变量,则未知,。检验假设。从母体中取了容量为100子样,近似服从正态分布,即:。因而对假设可采用u—检验计算检验统计量观察值,。由于。所以拒绝原假设即改革工艺后零件的电阻一有显著差异。6.有一种新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种就旧暗昧安眠剂平均增加睡眠时间3小时,根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时,均方差为1.8小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间(以小时为单位)为:26

4、.7,22.0,24.1,21.0,27.2,25.0,23.413试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效?解:设新安眠剂疗效为随机变量,则未知,。检验假设,从母体中取了容量为7子样,近似服从正态分布,即:。因而对假设可采用u—检验计算检验统计量观察值,。由于。所以接收原假设,即新安眠剂未达到新的疗效。7.设X1,X2,---,Xn为取自总体X~的简单随机样本,其中0为已知常数,选择统计量U=,求的1-的置信区间。解:由于U=服从(n),于是故的1-的置信区间。8.在某校的一个班体检记录中,随意抄录2513名男生的身高数据,测得平均高为170厘米,(修正)标准差为12厘米

5、,试求该班男生的平均身高和身高标准差的0.95置信区间(假设身高近似服从正态分布)。解:由题设身高X~N(),n=25,。(1)先求的置信区间(未知)取,故置信区间为:(170)=(170-4.94,170+4.94)=(165.06,174.94)(2).的置信区间(未知)取故的0.95置信区间为的0.95置信区间为.9.在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以95%的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取多大的样本容量n?解:以X表示反应时间,则为平均反应时间,由条件知,样本标准差S=0.05,用样本均值估计当n充分大时,统计量近似服

6、从标准正态分布N(0,1),根据条件,要求样本容量满足.即13即应取样本容量n为96或97。10.设X1,X2,---,Xn为取自总体X的简单随机样本,试证:S2=(其中)是D(X)的无偏估计。11.设X1,X2,---,Xn为取自总体X~P()的简单随机样本,对任一数值,(01),试证:+(1-)S2是的无偏估计.其中:,S2=12.设从均值为,方差为的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两个独立样本,1和2分别为两样本的均值,试证对于任意常数a,b,(a+b=1),Y=a1+b2也是的无偏估计,并确定常数a,b,使D(Y)达到最小.22.在某年级学生中抽测9名跳远年成绩,得

7、样本均值=4.38m.假设跳远绩13X服从正态分布,且=03,问是否可认为该年级学生跳远平均成绩为=4.40m(=0.10).解:(1)(2)选统计量(3)查标准正态分布表,得出临界值拒绝域(4)算得,显然0.2不在拒绝域内,因此H0被接收,即可认为该年级学生跳远平均成绩为4.40米。23.设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差S*为15分,问在显著水平0.05下,是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。解:(1)待检假设

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