假设检验计算与证明题

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1、《数理统计》试题库假设检验1设取自正态母体其中为未知参数,为子样均值，对检验问题取检验的拒绝域:,试决定常数c使检验的显著性水平为0.05.解:因为所以在成立下,,所以C=1.176.2．设子样取自正态母体已知，对检验假设的问题，取临界域.（i）求此检验犯第一类错误的概率,犯第二类错误的概率,并讨论它们之间的关系.（ii）设,求时不犯第二类错误的概率.解:(i).在成立下,,其中是N（0，1）分布的分位点。13在H1成立下,,=当增加时，减少，从而减少；反之当减少时，将导致增加。（ii）不犯第二类错误的

2、概率为1-。=3．设一个单一观测的子样取自密度函数为f(x)的母体，对f(x)考虑统计假设：试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足，并求其最小值。解：设检验函数为([C,1]为检验拒绝域）=要使达到最小，当1-4x时,=0；当1-4x<0时,=1.所以检验函数应取,此时13.4，设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时，今由一批产品中随机地抽查了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为1600小时？解：母体，对假设采用U—检验法，在H0为

3、真下，检验统计量观察值为时临界值。由于，所以接受，即不能否定这批产品指标为1600小时5某电器零件的平均电阻一直保持在2.64均方差保持在0.06.改变加工工艺后测的100个零件,其平均电阻为2.62,均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?取显著性水平。解：设改变工艺后，电器零件电阻为随机变量，则未知，。检验假设。从母体中取了容量为100子样，近似服从正态分布，即：。因而对假设可采用u—检验计算检验统计量观察值，。由于。所以拒绝原假设即改革工艺后零件的电阻一有显著差异。6.有一种新安眠剂,据说

4、在一定剂量下能比某种就旧暗昧安眠剂平均增加睡眠时间3小时,根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时,均方差为1.8小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间(以小时为单位)为:26.7,22.0,24.1,21.0,27.2,25.0,23.413试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效?解：设新安眠剂疗效为随机变量，则未知，。检验假设，从母体中取了容量为7子样，近似服从正态分布，即：。因而对假设可采用u—检验计算检验统计量观察值，。由于。所以接收原假设，即新

5、安眠剂未达到新的疗效。7．设X1,X2,---,Xn为取自总体X~的简单随机样本，其中0为已知常数，选择统计量U=，求的1-的置信区间。解：由于U=服从(n)，于是故的1-的置信区间。8．在某校的一个班体检记录中，随意抄录2513名男生的身高数据，测得平均高为170厘米，（修正）标准差为12厘米，试求该班男生的平均身高和身高标准差的0.95置信区间（假设身高近似服从正态分布）。解：由题设身高X~N（），n=25，。（1）先求的置信区间（未知）取，故置信区间为：(170)=(170-4.94,170+4.

6、94)=(165.06,174.94)(2).的置信区间（未知）取故的0.95置信区间为的0.95置信区间为.9．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差为0.05秒，为了以95%的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，应取多大的样本容量n?解：以X表示反应时间，则为平均反应时间，由条件知，样本标准差S=0.05,用样本均值估计当n充分大时，统计量近似服从标准正态分布N（0，1），根据条件，要求样本容量满足.即13即应取样本容量n为96或97。10．设X1,X2,---,Xn为取自总体X的

7、简单随机样本，试证:S2=（其中）是D(X)的无偏估计。11．设X1,X2,---,Xn为取自总体X~P()的简单随机样本，对任一数值，（01），试证：+(1-)S2是的无偏估计.其中:,S2=12．设从均值为,方差为的总体中，分别抽取容量为n1,n2的两个独立样本，1和2分别为两样本的均值，试证对于任意常数a,b,(a+b=1),Y=a1+b2也是的无偏估计，并确定常数a,b,使D(Y)达到最小.22．在某年级学生中抽测9名跳远年成绩，得样本均值=4.38m.假设跳远绩13X服从正态分布，且=03,问

8、是否可认为该年级学生跳远平均成绩为=4.40m(=0.10).解：(1)(2)选统计量（3）查标准正态分布表，得出临界值拒绝域(4)算得,显然0.2不在拒绝域内，因此H0被接收，即可认为该年级学生跳远平均成绩为4.40米。23．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差S*为15分，问在显著水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。解：（1）待检假设