天津理工电路习题及答案 第十五章 电路方程的矩阵形式

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1、第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路(网络)的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念:图、连通图和子图的概念,树、回路与割集的拓扑概念,关联矩阵,基本回路,基本割集的概念,选取树和独立回路的方法。关联矩阵,用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。回路与割集的拓扑概念,单连支回路,单树枝割集。2、重点和难点(1)关联矩阵(2)结点电压方程的矩阵形式(3)状态变量的选取及状态方程的建立方法(4)电路状态方程列写的直观法和系统法².三种主要关联矩阵形式:①结点关联矩阵A:描述结点与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路(网络)有N个结点、B条支路,

2、其结点关联矩阵A表示如下:(n-1)ⅹb其中任意元素ajk的定义为:ajk=+1,表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点;ajk=-1,表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点;ajk=0,表示结点j与支路k不关联;②回路关联矩阵B:描述回路与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路(网络)有L个回路、B条支路,其回路关联矩阵B表示如下:lⅹb其中任意元素bjk的定义为:bjk=+1,表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致;bjk=-1,表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反;bjk=0,表示回路j与支路k相不关联;③割集关联矩阵Q:描述割集与支路的关联关系的矩阵。设复

3、杂电路(网络)有Q个割集、B条支路,其割集关联矩阵Q表示如下:(n-1)ⅹb其中任意元素qjk的定义为:qjk=+1,表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致;qjk=-1,表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反;qjk=0,表示割集j与支路k相不关联;注意:★对于结点关联矩阵有:基尔霍夫电流定律的矩阵形式:Ai=0;i=[iii2i3……ib]T。基尔霍夫电压定律的矩阵形式:u=ATun;u=[uiu2u3……ub]T。un=[uniun2un3……un(n-1)]T。★对于回路关联矩阵有:基尔霍夫电流定律的矩阵形式:i=BTil;i=[iii2i3……ib]T。il

4、=[iliil2il3……ill]T基尔霍夫电压定律的矩阵形式:Bu=0;u=[uiu2u3……ub]T。★对于割集关联矩阵有:基尔霍夫电流定律的矩阵形式:Qi=0;i=[iii2i3……ib]T。基尔霍夫电压定律的矩阵形式:u=QfTut;u=[uiu2u3……ub]T。ut=[utiut2ut3……ut(n-1)]T。④三种矩阵之间的关系(略)2.三种分析方法的方程的矩阵形式①回路电流方程的矩阵形式(略)②割集电压方程的矩阵形式(略)③结点电压方程的矩阵形式基尔霍夫电流定律的矩阵形式:Ai=0;i=[iii2i3……ib]T。基尔霍夫电压定律的矩阵形式:u=ATun;u=[uiu2u

5、3……ub]T。un=[uniun2un3……un(n-1)]T。结点电压方程的矩阵形式的形成过程:第一步:建立复合支路:由于复杂电路的形式很难确定,在实际分析中只能采用具体电路具体分析。为建立复杂电路的一般分析方法,有必要假设复杂电路的复合支路,从而形成一个较为普遍的方法。复合支路即第k条支路如下:由基尔霍夫电流定律得:所以:对该式进行讨论,目的是得出一般规律。⑴复合支路中无受控源时:由KCL得:变成将代入得:又所以对整个电路有:其中Y为支路导纳矩阵,它是一个对角矩阵。同理可以分析一下两种情况⑵复合支路中无受控源,但电感之间有互感时:⑶复合支路中含有受控源时:都可以推导出第二步:写出A

6、、Y、IS、US等矩阵;第三步:代入结点电压方程的矩阵形式:3、典型例题分析【例题1】:含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。电路如图15.1(a)所示,图中元件的下标代表支路编号,图15.1(b)是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。图15.1(a)图15.1(b)解:由图15.1(b)得节点关联矩阵A,节点电压的列向量,支路电流的列向量,支路电压的列向量,支路导纳矩阵,节点导纳矩阵,结点电压方程的矩阵形式为:【例题2】:对于较为简单的电路,采用直观法和系统法均可,当电路较为复杂时,一般采用系统法。电路如图15.2(a)所示,以为状态变量,列出电路的状态方程。图15.2(a)图

7、15.2(b)解:方法1直观法KVL:KCL:;消去:;;代入上式:然后整理成矩阵形式(略)。方法2系统法选图(b)中支路1、3、4、6为树支含电感单连支回路的KVL:含电容单树支割集的KCL:【例题3】:求图15.3所示电路的状态方程。图15.3解:设uc,i1,i2为状态变量其中:从以上方程中消去非状态量,得:写成矩阵形式:【例题4】:图15.4所示图G的关联矩阵A=________________________。图15.41

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