电路教案第15章电路方程的矩阵形式

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1、工程实际电路规模日益增大，结构日趋复杂，为便于计算机辅助分析及求解，要求有一种方法实现对电路方程的建立的规范方法，由于计算机运算采用矩阵形式是有效手段，故希望方程能用矩阵表示。本章就是介绍电路方程的矩阵形式及其求解方法的基础知识和入门理论。本章重点1.关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念2.回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式1.割集概念、基本割集概念、独立割集概念。2.树与割集的关系。15.1割集割集Q连通图G中支路的集合，具有下述性质：l把Q中全部支路移去，图分成二

2、个分离部分。l任意放回Q中一条支路，仍构成连通图。基本割集（单树支割集）：只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1。如右图虚线构成基本割集矩阵。注意：l连支集合不能构成割集。l属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程。l对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。（能构成KCL方程组）15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵1.图的矩阵表示（利用电路拓扑图各节点、支路之间

3、的关联性描述矩阵的方法。）图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：1.介绍关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵的定义方法。2.三个矩阵电路上的应用。结点——支路：关联矩阵回路——支路：回路矩阵割集——支路：割集矩阵2.关联矩阵A（描述结点与支路之间关联性质的一种数学表示方法。）用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个结点b条支路的图用n´b的矩阵描述：关联含义：一条支路与两个节点相连，则称该支路与这两个节点是关联的。注意：每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。矩

4、阵Aa的每一个元素定义为：lajk=1支路k与结点j关联，方向背离结点；17lajk=-1支路k与结点j关联，方向指向结点；lajk=0支路k与结点j无关。可以看到：n每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。n矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。降阶关联矩阵AA的某些列只具有一个+1或一个－1，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。关联矩阵A的作用l用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；设，以结点④为

5、参考结点构成n-1个独立方程，矩阵形式的KCL:[A][i]=0l用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。设，17则：2.回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。矩阵B的每一个元素定义为：l支路j在回路i中，且方向一致；l-1支路j在回路i中，且方向相反；l支路j不在回路i中。注意：给定B可以画出对应的有向图。基本回路矩阵Bf独立回路对应一个树的单连枝回路得基本回路矩阵[Bf]规定：连支电流方向为回路电流方向；支路排列顺序为先连支后树支，回

6、路顺序与连支顺序一致。17回路矩阵[B]的作用l用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；设（1-3为连支，4-6为树支）（l个独立KVL方程）矩阵形式的KVL：[B][u]=0注意：连支电压可以用树支电压表示。[Bf][u]=0→ul+Btut=0→ul=-Btutl用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程设独立回路电流矩阵形式的KCL：[B]T[il]=[i]注意：树支电流可以用连支电流表出。→→3.基本割集矩阵[Qf]割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。17注意：

7、每一行对应一个基本割集，每一列对应一条支路。矩阵Q的每一个元素定义为：l支路j在割集i中，且与割集方向一致；l-1支路j在割集i中，且与割集方向相反；l支路j不在割集i中。规定：基本割集矩阵[Qf]①割集方向为树支方向；②支路排列顺序先树支后连支；③割集顺序与树支次序一致。例：选1、2、3支路为树，则：Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}基本割集矩阵[Qf]的作用l用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程。设，构成n-1个独立KCL方程矩阵形式的KCL：[Qf][i]=

8、0l用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[u1u2u3]T17矩阵形式的KVL：[Qf]T[ut]=[u]注意：连支电压可以用树支电压表示。→小结：15.3*矩阵A、Bf、Qf之间的关系三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。1.A与B之间的关系对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：→2.Bf与Qf之间的关系对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：→对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：17