第十五章 电路方程矩阵形式

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1、第十五章电路方程矩阵形式15．1基本概念15．1．1割集1.割集的定义连通图中，符合下列条件的一组支路叫做割集：（1）这组支路被全部移去后（结点不动），图被分成两个分离的部分；（2）如果留下这组支路中的任何一条支路，图就仍然是连通的。第一个条件是说：图被分成两个分离的部分，不能分成两个部分当然不行，但是分成三个或三个以上也不行，既不多也不少，刚好两部分。第二个条件意思是：被移去的支路最少是指把连通图分成两个部分所需的支路数最少。其中没有一条支路是多余的，亦即少移去这个割集中的任何一条支路，就不能把连通图分成两部分。2.割集的确定用与一个闭合面相切割的

2、办法来观察一个支路集合是否组成一个割集，比较直观、方便；但必须注意到，有些割集不易用与一个闭合面相切割的办法来表示。例如图15—1（a）中的（a、b、c、d）是一个割集，但这个割集直观上看不出被一个闭合面新切割。如果把它改成图15—1（b）则支路a、b、c、d就被闭合面S切割了，恰好把图分成两个部分。闭合面上个支路电流的代数和为零，所以可以认为，割集是范围放大的结点。3.基本割集选一个“树”由一条树支和相应的一些连支所构成的割集，称为单树支割集，又称基本割集。所有基本割集构成一个基本割集组。一组基本割集所对应的KCL方程是相应独立的。15．1．2关联

3、矩阵、回路矩阵、割集矩阵1.关联矩阵A设一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点相关联。用关联矩阵描述支路与结点的关联性质。设有向图的结点数为n，支路数b，且所有结点和支路均加以编号。于是，该有向图的关联矩阵为一个（nb）阶的矩阵，用表示，它的行对应结点，列对应支路，它的任一元素定义如下：=+1表示支路k与结点j关联并且它的方向背离结点；=-1表示支路k与结点j关联并且它指向结点；21=0表示支路k与结点j无关联。独立结点数为n-1，于是将任一行划去，剩下的（n-1）b矩阵用A表示，称为降阶关联矩阵。用矩阵A表示KCL的矩阵形式：Ai=0用矩

4、阵A表示KVL的矩阵形式：=1.回路矩阵（1）独立回路矩阵设一个回路由某些支路组成，则称这些支路与该支路关联。用回路矩阵描述支路与回路的关联性质。是独立回路矩阵的简称。设有向图的独立回路数为l，支路数为b，回路矩阵是一个l×b的矩阵，用B表示。B的行对应一个回路，列对应于支路，它的任一元素,定义如下：=+1表示支路k与回路j关联，且它们的方向一致；=-1表示支路k与回路j关联，且它们的方向相反；=0表示支路k与回路j无关联。（2）基本回路矩阵如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支回路组，这种回路矩阵就称为基本回路矩阵，用B表示。如果安排其行列次序如

5、下：把L条连支依次排列在对应于B第1行第L列，然后再排列树支；取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的序号，且以该连支的方向为对应的回路的绕行方向，此时：B=，表示与连支和树支对应的部分。（3）KCL、KVL的矩阵形式KCL：=0KVL；回路电流法的思想。2.割集矩阵（1）独立割集矩阵Q设一个割集由某些支路构成，则称这些支路与该割集关联。用割集矩阵描述割集与支路的关联性质。设有向图的结点数为n，支路数为b，则独立割集数为（n-1）。对每个割集编号，并指定一个割集方向，于是，割集矩阵为一个（n-1）×b的矩阵，用Q表示，它的任一元素定义如下=+1，表示

6、支路k与割集j关联并且具有同一方向；=-1，表示支路k与割集j关联但是它们的方向相反；21=0，表示支路k与割集j无关；（1）基本割集矩阵基本割集矩阵对应于一组基本割集组，在写时，注意安排其行列如下：把（n-1）条树支依次排列在对应于的第一行第（n-1）列，然后排列连支，再取每一单树支割集的序号与相应的树支所在列的序号相同，且选割集方向与响应的方向一致，则，t、l对应于树支、连支部分。（2）KCL、KVL矩阵形式KCL：KVL：本节中，15．1．3电路方程的矩阵形式路电流方程的矩阵形式（1）复合支路VAR如图15-2的复合支路复合支路的VAR矩阵形式

7、为：21其中：（1）Z阵的求法a)各支路间无受控源也无互感时，Z是一个对角矩阵，为各支路的阻抗b)当支路j与支路k之间存在互感时，在Z中，的选取视两支路的电流方向而定，两支路电流均丛同名端流进为“+”，反之为“-”。c)当支路k中含有受控源时，支路k中的受控电压源受第j条支路的电流控制，即而在Z中，。当和与复合支路中的方向均一致（或相反），取“+”，否则取“-”。（3）KCL、KVL方程的矩阵形式（4）回路电流方程的矩阵形式2.结点电压方程的矩阵形式（1)复合支路的VAR如图15-3所示复合支路21复合支路的矩阵形式：式中：与1相同，Y—支路导纳矩阵

8、（1)Y的求法a)各支路无受控源也无互感时，Y是一对角阵，对角线上是各元件的导纳；b)有互感、无受控源时，先