一元二次函数与幂函数

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1、.11-若不等式or+l>0恒成立的荒分条件是0Vx<—,则实数。的取俏范国是3【考点】必要条件.充分条件与充要条件的判断；二次函数的性质.【分析】不等式x2-ax+>0恒成立的充分条件是0<兀<2，令fM=x2-ax+,则函数/(兀)在(0,丄)上恒大于0,V/(x)的图像恒过(0,1)点,・・・只需/(-)>0,10一3<2.设/(x)是定义在R上周期为2的偶函数，已知xW[2,3]R't,f(x)=x~2x.(1)求1,1]lit/(x)的解析式;(2)若f(x)=加兀在区间[2k-1,

2、2H1](胆NJ上有两解,求加的取值范围.【考点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质.【解】(1)设00W1,有x+2e[2,3],[2,3]时，f(x)=x2~2x・.*./(x)=f(x+2)=(x4-2)2—2(x+2),/./(x)=/+2x,xW[0,1],V/(x)是偶函数,・丁(一兀)=/(x),・••当xe[-l,0]时,-xe[0,1],••f(x)=f(—x)=(-x)2+2(—x)=x2—2x,xW[—1,0],x2-2x,xg[-1,0]x2+2x,兀eEl(2)根

3、据函数图像：f(x)=呛在区间[2—1,2R+1](JteN*)上有两解,・・・过(3,过(5,-1),祥弓Am的取值范围为一£).推广可得：〃的取值范围为[-右4321■•*•9•2-1O*第2题图CQN313.定义在D上的函数f(x),如果满足：对任意xCZ),存在常数M>0,都冇IfG)^M成立，贝IJ称八Q是D上的有界函数,其中M称为函数/(X)的上界.已知函数y(x)=i+6/-(-)x+(-)24(1)当—1吋，求函数/(X)在(一00,0)上的值域，并判断函数/(X)在(一00,

4、0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数/(x)在［0,+oo)上是以3为上界的有界函数，求实数d的取值范围.【考点】二次函数在闭区间上的绘值；函数的值域.【解】(1)当II寸，/(x)=1+(丄)'+(丄)',令/=(—)',t>1,24213则/(%)=g(/)=t2+/+i=(r+—)2+—.•・・g(r)在(1,+oo)上单调递增，・・・g(/)>g(1),即/(x)在(-oo,0)上的值域为(3,+oo),故不存在常数M>0,使f(x)

5、WM成立，所以函数/(x)在(一00,0)

6、上不是有界函数.(2)由题意知，/(x)

7、W3在［0,+oo)上恒成立..■.―3W/(x)W3,—4—(丄)丄)'W2—(丄)424・：一4・2"—(丄)“2,—(丄)*在［0,+oo)上tU成立，22.•.-4-2v-(-y的最大值小于或等于G,几。小于或等于2.2v-(-)x的最小值.22设2v=r,h(r)=—4r—-,p(r)=2r—-,由xG［0,+oo)得rMl.tt设1Wqvj•・•爪”_/2((2)=亿_'汎4“2>0,P(z,)-P(z2)=(L2)(2也+1)

8、，/?Ct)在［1,+oo)上递减，P(r)在［1,+oo)上递增，h(r)在［1,+oo)上的最人值为/?(1)=-5,p(r)在［1,+oo)上的最小值为/?(1)=1,・・・一50W1,所以，实数a的取值范围为［-5,1］.2.已知幕函数/(x)=x-m2-2w+3(/neZ)为偶函数，且在区间(0,+oo)上是单调增函数,则/(2)的值为•【答案】16【分析】幕函数f(x)=x-,n2-2,n+3(meZ)为偶函数，且在区间(0?+oo)±是单调增函数,-m2-2m+3>0,且-m2一2m

9、+3是偶数，由一〃『一2m+3>0解得一3

10、,只要当x^[n,—1]时，就f(x+r)22x成立.【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题.【解】(1)由f(x-1)于(3—兀)可知函数八兀)的对称轴为x=l,由f(x)的戢大值为0,可假设/(x)=aCx~lV,(«<0).令«(%—1)2=—2,x=li.—，贝惕知2=4,a=——.aVa2所以，/*(%)=—丄(一1)2.2(2)由f(x+r)$2%可得--(x-l+r)2^2x,即x2+2(r+l)x+(ll^WO,2解得一t—1—2J7WxW—/—1+2.y[t,又