17年高考数学一轮复习精品资料-理专题55 二项式定理（教学案）-2017年高考数学（理）一轮复习精品资料

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1、1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C，C，…，C2.二项式系数的性质(1)当0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C．(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为．(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．

2、高频考点一　求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1、(1)(2015·广东)在(－1)4的展开式中，x的系数为________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)A.10B.20C.30D.60【答案】　(1)6　(2)C【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你(2)方法一　利用二项展开式的通项公式求解.(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.方法二　利用组合知识求解.(x2＋x＋y)5为5个x

3、2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.高频考点二　已知二项展开式某项的系数求参数例2、(2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.【答案】　3【感悟提升】求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.【变式探究】(1)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)(2)(x＋a)10的

4、展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)【答案】　(1)20　(2)【解析】　(1)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.(2)设通项为Tk＋1＝Cx10－kak，令10－k＝7，∴k＝3，∴x7的系数为Ca3＝15，∴a3＝，∴a＝.高频考点三　二项式系数的和或各项系数的和的问题例3、在(2x－3y)10的展开式中，求：【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数

5、和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.【变式探究】已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.解　(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)＝2＋.∵m∈N*，【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设

6、这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.高频考点四　二项式定理的应用例4、(1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)【感悟提升】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本

7、思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.【变式探究】1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)A.－1B.1C.－87D.87[来源:Z&xx&k.Com]【答案】　B【解析】　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.1.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的