17年高考数学一轮复习精品资料-理专题23 正弦定理和余弦定理的应用（教学案）-2017年高考数学（理）一轮复习精品资料

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1、专题23正弦定理和余弦定理的应用（教学案）2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二

2、面角的正切值．高频考点一考查测量距离例1、如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你【方法技巧】求距离问题时要注意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其

3、他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．【变式探究】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°.所以AC＝CD＝.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝

4、＝.【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝()2＋2－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，所以AB＝km，所以A，B两目标之间的距离为km.高频考点二考查高度问题例2、如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)(　　)A．2.7m　　　　　　B．17.3mC．37.3mD．373m【答案】C【方法技巧】求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念

5、，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角；【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．【变式探究】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．【解析】在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DB

6、C＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BCtan60°＝10.【答案】10高频考点三考查方位角例3、如图，我国的海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处里一外国船只，且D岛位于海监船正东14海里处．(1)求此时该外国船只与D岛的距离；(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin36°52′≈0.6，si

7、n53°08′≈0.8)【解析】(1)依题意，在△ABD中，∠DAB＝45°，由余弦定得，DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝(14)2＋162－2×14×16×＝200，所以DB＝10.【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你即此时该外国船只与D岛的距离为10海里．【方法技巧】解决方位角问题其关键是弄清方位角概念．结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的几何性质的应用．【变式探究】如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测量该岛的方位角为北偏东β角

8、，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你【解析】由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝>n，所以当α与β的关系