专题4.6 正弦定理和余弦定理（教学案）-2014年高考数学（理）一轮复习精品资料（解析版）

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1、【重点知识梳理】1．正弦定理分类内容定理＝＝＝2R(R是△ABC外接圆的半径)变形公式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C，②sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，③sinA＝，sinB＝，sinC＝解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2．余弦定理分类内容定理在△ABC中，有a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝a2＋c2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形公式cosA＝；cosB＝；cosC＝解决的问题①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角

2、，求第三边和其他两个角3．三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．【特别提醒】　(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!25联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：10

3、2413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解【高频考点突破】考点一利用正弦、余弦定理解三角形1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．例1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA

4、＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．【变式探究】1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.解：(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!25联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-584252

5、55/6/7传真：010-89313898考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．例2、在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2as

6、inA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【变式探究】已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝，且m·n＝.(1)求角A的大小；学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!25联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．考点三与三角形

7、面积有关的问题1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2．在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．例3、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.【解析】(1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以sinAsinC－c

8、osAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sin＝.又0＜A＜π，故A