习题课讲义(多元微积分)

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1、第六讲：多元函数的微分法及其应用一、二元函数的极限与连续1、二元函数的定义：设有三个变量、与，如果对于、所能取的每一对值，按一定的法则总有一个确定的值与之对应，则称是、的函数，记作，。注：这里的为定义域或定义区域。区域：连通的开集，也称开区域。应了解：开集、闭集、有界集、无界集等概念：比如：为有界开集；为有界闭集；为无界开集；为无界闭集。[例]已知，求：解：记：、，即、，故。2、二重极限：，，当时，恒有。注1：二重极限中：要求“以任何方式”、“同时”进行。如果函数沿着一条特殊的路径（或以某种特定的方式）使时极限不存在，则不存在；如果函数沿两条不同的路径（

2、或以两种不同的方式）使时极限不存在，则不存在。注2：要注意二重极限：与二次极限或的差别；[例]：设函数讨论。[解]：取，随的不同而变化，因此不存在。注：的存在性与二次极限、的存在性无关：取（），但、均不存在，（、均不存在），反例更多。3、二元函数的连续性：设二元函数在的某个邻域内有定义，若或记全增量，或，，当时，恒有，则称在处连续。若在内处处连续，则称函数在内连续；函数不连续的点称为的间断点。若函数在有界闭区域上连续，则在上必有界，且能取得最大值和最小值。也必取得介于最大值和最小值之间的任何值。1、例子[例1]（1）；（2）；（3）令，则；注：时，是变量，

3、也在变化，不能把看成常量；比如：不存在。（4）因为，，不妨设，，由知，从而，由得；（5）（6），由，其中；且，故。注：求（证明）二重极限（存在）时，一般先估计二重极限是否存在，若估计存在，则可利用函数连续性或夹逼原理或等价无穷小等。[例2]讨论函数在点处的连续性[解]取，取，，故不存在，因此论函数在点处不连续。一、二元函数的微分法1、偏导数（1）一阶偏导数：设函数在点的某个邻域内有定义，，。其中：、称为关于、的偏増量。几何意义：表示曲线在点处的切线对轴的倾斜角的正切。（2）二阶偏导数：、、、称为二阶偏导数，其中、称为二阶混合偏导数。定理：若的两个二阶混合偏

4、导数、在区域内连续，则在内必有。2、全微分（1）若在点处全增量可表示为，其中、不依赖于、，，则称在点处可微，其中称为在点处的全微分，记作。（2）偏导数连续、函数可微与偏导数存在的关系具有一阶连续偏导数可微、存在，且或连续或方向导数存在注1：可通过讨论：是否趋于零，确定在点处是否可微；若，则在点处可微，若，则在点处不可微；比如：函数由，及取得知在点处不可微。本题还可说明：函数不可微但偏导数存在。注2：偏导数存在但函数不连续：比如：函数在点处存在偏导数（可由定义得），但不连续（可取、及讨论）。偏导数不存在但函数连续：比如：函数在点处偏导数不存在但函数连续。3、

5、方向导数与梯度（1）；（2）若在点处可微，则在点处各方向的方向导数均存在，且；（3）设在点处具有一阶连续偏导数，称为在点处的梯度，记作。（4）若具有一阶连续偏导数，则，其中，且说明：方向导数沿梯度方向达到最大值，且最大值等于梯度的模。[例]求函数（其中常数、、）在已知点处沿此点的向径的方向导数，并问当、、为何关系时，才能使方向导数等于梯度的模。[解]，其中；又，由，比较系数得；注：由，即，得，也即梯度方向与所求方向导数的方向一致，故，即。4、多元复合函数的求导法则设函数具有一阶连续偏导数，、具有偏导数，则函数具有偏导数，且注1：上述法则的条件若改为：函数及

6、、可微，则可给出下列证明：由，及，，得及比较得。注2：在求多元复合函数的导数时，应尽可能地用图解法表示函数的复合关系（分清中间变量与自变量）非具体表达式的函数求偏导数时，应正确使用偏导记号：、等，并注意它们仍是复合函数，且复合关系与一致。[例1]设，求、：[解]，故，。[例2]设，求，，其中、具有二阶连续（偏）导数。[解]；[例3]设函数，其中、分别具有阶、阶导数，求。[解]，，故[例4]设，其中具有二阶连续偏导数，求[解]，[例5]设函数满足方程，其中具有二阶连续偏导数，具有不同时为零的偏导数、，求：[解]在方程两端关于求偏导数，得（1）两端关于求偏导数

7、，得（2）由偏导数、不同时为零，故，即。[例6]设、变换方程：[解]，，同理，，代入原方程得。注：由方程得及，即（其中、为任意具有二阶连续可导的函数）为方程的通解。[例7]设，则。解：由得，，，故；[例8]设向量，，函数在点处可微且，，则。解：由，解得，，因此。[例9]设函数具有二阶连续偏导数，且，，，证明：。证明：根据题意，在直线上：，，故，[例10]设非零函数具有二阶连续偏导数，证明的充分必要条件为。证明：必要性：（略）充分性：由，即，得,即，亦即，，即4、隐函数导法则（1）条件：函数在点的某邻域内具有一阶连续偏导数；；结论：在点的某邻域内恒能确定一个

8、（单值）连续且具有连续导数的函数，使，。（2），确定：，使，（3）