多元函数微积分学及应用 习题课

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1、第九章习题课一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数微积分学四、重积分计算的基本技巧一、基本概念连续性偏导数存在方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续定义域及对应规律判断极限不存在及求极限的方法函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系思考与练习1.讨论二重极限解法1解法2令解法3令时,下列算法是否正确?分析:解法1解法2令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,解法3令此法忽略了的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不

2、能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.提示:利用故f在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明:而所以f在点(0,0)不可微!例1.已知求出的表达式.解法1令即解法2以下与解法1相同.则且二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号

3、3.利用一阶微分形式不变性例2.设其中f与F分别具解法1方程两边对x求导,得有一阶导数或偏导数,求(1999考研)解法2方程两边求微分,得化简消去即可得例3.设有二阶连续偏导数,且求解:练习题设函数f二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数解答提示:三、多元函数微分法的应用1.极值与最值问题极值的必要条件与充分条件求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题2.在微分方程变形等中的应用例5.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解:设为抛物面上任一点，则P的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在

4、,故四、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或质心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号例6.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.围成.(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例7.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把D分成作辅助线(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成例8.求抛物线所围区域D的面积A.解:如图所示注:则也可利用上述方法简化计算.上可积,例9.交换积分顺序计算解.积分域如图.