考研数学习题课讲义--4 多元函数微积分学.pdf

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1、考研数学习题课讲义第四讲多元函数微积分学2016年大纲解读考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多

2、元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．常考题型及其解法与技巧题型一对二元函数相关概念与性质的理解解题注意:主要考查二元函数的偏导数存在、可微、连续等的关系,隐函数存在定理、极值的定义与判断等等.例1二元函数f(x,y)在(0,0)可微的一个充分条件是(

3、).?(?,0)−?(0,0)?(0,?)−?(0,0)(A)lim[?(?,?)−?(0,0)]=0(B)lim=0,lim=0?→0?→0??→0??→0?(?,?)−?(0,0)[?′(?,0)−?′(0,0)]=0且lim′(0,?)−?′(0,0)]=0(C)?lim→0√?2+?2=0(D)lim??[????→0?→0?→0f(x,y)xy例2已知函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且lim1,则x0(x2y2)2y0(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(

4、x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据条件无法判断(0,0)是否为f(x,y)的极值点.例3设有三元方程xyzlny+exz=1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).(?22

5、)sin122+?,?+?≠0例4设?(?,?)={√?2+?2,0,?2+?2=01(1)问f(x,y)在点(0,0)处是否连续?(2)求f(x,y)的偏导数并讨论偏导函数在点(0,0)处的连续性.(3)问f(x,y)在点(0,0)处是否可微?练习:1.考虑二元函数的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续③f(x,y)在点(x0,y0)处可微;④f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数存在.则有(A)②③①(B)③②①(C)③④①(D)③

6、①④2.设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy,则点(0,0)______.(A)不是f(x,y)的连续点(B)不是f(x,y)的极值点(C)是f(x,y)的极大值点(D)是f(x,y)的极小值点24xy3.设f(x,y)e,则函数在原点偏导数存在的情况是______.(A)fx(0,0)存在,fy(0,0)存在(B)fx(0,0)存在,fy(0,0)不存在(C)fx(0,0)不存在,fy(0,0)存在(D)fx(0,0)不存在,fy(0,0)不存在题型二计算多元函数的偏导数与全微分

7、注意:(1)基本求导公式;(2)求偏导数的方法(复合函数、抽象函数、隐函数,注意函数结构);(3)全微分公式(微分的形式不变性求偏导数).?2?例5设?=??ln(??),求

8、.????(1,?)?22−arctan例6设?=(?+?)??,求dz.?+??2?练习:设?=arctan,求.1−????2222??2?例7设?=?(?+?,),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求.??????2?例8设?=?(??+??)+?(?2?,??2),其中f,g都具有连续的二阶偏导数,求.????练习:2xyz1.设z

9、f(xy,)g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求.yxxy2.设f(u,v)是二元可微函数,z=f(xy,yx),则zx=__________.2z3.设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数,z=f(x,xy),则______.xy2zzz4.设z=f(x2y2,exy),其f具有二阶连续