习题课讲义(多元微积分

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1、第六讲：多元函数的微分法及其应用一、二元函数的极限与连续1、二元函数的定义：设有三个变量x、y与z，如果对于x、y所能取的每一对值，z按一定的法则总有一个确定的值与之对应，则称z是x、y的函数，记作zfx,y，x,yD。注：这里的D为定义域或定义区域。区域：连通的开集，也称开区域。应了解：开集、闭集、有界集、无界集等概念：2222比如：x,yxy1为有界开集；x,yxy1为有界闭集；x,yxy1为无界开集；x,yxy1为无界闭集。y22[例]已知fxy,xy，求fx,y：x2yuu

2、vx1y解：记：xyu、v，即x、y，故fx,y。x1v1v1y2、二重极限：limfx,yAx,yx0,y0220，0，当0xxyy时，恒有fx,yA。00注1：二重极限中：x,yx,y要求“以任何方式”、“同时”进行。00如果函数fx,y沿着一条特殊的路径（或以某种特定的方式）使x,yx,y时00极限不存在，则limfx,y不存在；x,yx0,y0如果函数fx,y沿两条不同的路径（或以两种不同的方式）使x,yx,y时极00限不存

3、在，则limfx,y不存在。x,yx0,y0注2：要注意二重极限：limfx,y与二次极限limlimfx,y或x,yx0,y0xx0yy0limlimfx,y的差别；yy0xx0xy22,xy022[例]：设函数fx,yxy讨论limfx,y。x,y0,00,x2y20,2kxk[解]：取ykx，limfx,ylimfx,kxlim随k的不2222x,y0,0x0x0xkx1k同而变化，因此limfx,y不存在。x,y

4、0,0注：limfx,y的存在性与二次极限limlimfx,y、limlimfx,y的存在性无x,yx0,y0xx0yy0yy0xx0关：11xsinysin,xy0,取fx,yyx0,xy0,11limfx,y0（xsinysinxy），但limlimfx,y、limlimfx,y均x,y0,0yxx0y0y0x011不存在，（limsin、limsin均不存在），反例更多。y0yx0x3、二元函数的连续性：设二元函数fx,y在x,y的某个邻域内有定义，若

5、limfx,yfx,y0000x,yx0,y0或记全增量zfxx,yyfx,y，limz0或0，0，0000x,y0,022当0xxyy时，恒有fx,yfx,y，则称fx,y在0000x,y处连续。00若fx,y在D内处处连续，则称函数fx,y在D内连续；函数不连续的点称为fx,y的间断点。若函数fx,y在有界闭区域D上连续，则fx,y在D上必有界，且能取得最大值和最小值。也必取得介于最大值和最小值之间的任何值。3、例子1xy10

6、[例1]（1）lim连续性1；x,y0,1x2y2021122222xy1cosxy2111（2）limlimlim；x,y0,0x2y2x2y2x,y0,0x2y2x2y2x,y0,02x2y2x2y22xy1x0,y02x2y22x2y2xyxcosyxx（3）令，则limlimsincos0；ysinx,y0,0x2y20注：0时，是变量，也在变化，不能把看成常量；22x

7、y比如：limlim不存在。x,y0,0y0arctanx2xxy（4）limxx2y2y22因为x，y，不妨设x0，y0，由xy2xy0知222xxxxy1xy110，从而0，由lim0得x2y22x2y22x2y2xxylim0；xx2y2yx2x2y1ey1x2lnx21（5）limlimlimx2lnx20x,y