二次函数的综合题及应用

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1、第十五讲二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例1（2013•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．思路分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为

2、10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；（2）∵当y=0时，x2+2x-3=0，解得：x1=-3，x2=1；∴A（1，0），B（-3，0），∴AB=4，设P（m，n），∵△ABP的面积为10，∴AB•

3、n

4、=10，解得：n=±5，当n=5时，m2+2m-3=5，解得：m=-4或2，∴P（-4，5）（2，5）；当n=-5时，m2+2m-3=-5，

5、方程无解，故P（-4，5）（2，5）；点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．对应训练1．（2013•湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．1．解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．∴抛物线的解析式为；y=-（x-3）（x+1），即y=-x2+2x+3，（2）∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2

6、+4，∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．考点二：二次函数与x轴的交点问题例2（2013•苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（　　）A．x1=1，x2=-1B．x1=1，x2=2C．x1=1，x2=0D．x1=1，x2=3思路分析：关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．解：∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m（m为常

7、数），∴该抛物线的对称轴是：x=．又∵二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．故选B．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根．对应训练2．（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（　　）A．-8

8、B．8C．±8D．62．B考点三：二次函数的实际应用例3（2013•营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每

9、千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？思路分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．解：（1）由题意得出：w=（x-20）∙y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600，故w与x的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；（2）w=-2x2+120x-1600=-2

10、（x-30）2+200，∵-2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150．解得 x^=25，x2=35．     ∵35＞28，∴x2=35不符合题意，应舍去．   答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．点评：本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题