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1、将单位化,〃2JL2_卩1一血5V302顶2_苗o1_V5"-I-2一、典型题解析题型1求二次型的标准形例6-1（1995（4））己知二次型/（%!,兀2,兀3）=4兀2—3卅+4召兀2—4兀內+8兀2兀3（1）写出二次型/的集中表达式；（2）用正交变换把二次型/化为标准形，并写出相应的正交矩阵.解析：（1）二次型/的矩阵表达式为<02-2、Z、/(x1,x2,x3)=(xI,x2,x3)244<-24-3,宀丿(2)二次型f的矩阵A的特征多项式为2-22AE-A=-22-4-4=(2-1)(2-6
2、)(2+6),2-42+3知A的特征值人=1,易=6,人=-6,对于特征值人=1,可得对应的特征向量訂（-2,0,1）〔对于特征值人=6,可得对应的特征向量$二（1,5,2）1对于特征值人=-6,可得对应的特征向量：二（1,—l』）7；2I丁得〃严（-祈,0,厉）,则Q是正交矩阵•于是二次型f可通过正交变换/兀2=Q化为标准形才+6丈_6疋.例6-2(1990(1,2))求一个正交变换化二次型/=4-4^2+4球-4xiX2+4x“3—8兀2兀3为标准形。解析：二次型/的矩阵为<1-22、A=-24-
3、4■-44丿A的特征多项式为A-12-2AE-A=22-44=久2(兄一9),-242—4得A的特征值人=&=0,/^=9.对于特征值&&=0,可得对应的线性无关的特征向量^,=(2,1,0/,^=(-2,0,1/・将鼻盘正交规范化，得对于特征向量入=9,可得对应的特征向量§3=(1,-2-2)7.17?将刍单位化，得〃3=(丄，—一，一几f2疋123^541'32Q=祈3^5~35203a/53丿化为标准形，并写出所用的可逆线性变换.兀1=必+力，解析：令<兀2=〉'1一〉‘2，代入，再配方可得f
4、=>i2—y；+儿为+力％+2）心一2力儿(3V(1)必+卫3L)二（才+3»）-丈一力力3z严廿+空力，122=旳+尹，Z3=%，3即3=5、所用的可逆线性矩阵为/=Q丄丿化为标准形例6・3用配方法把二次型1°-2、-1>3a--x^aC=1、0例6・4二次型f-2%j2++6x2x3(a>3)的规范形为［］(A)昇+y；+y(・(B)y^-yj-yj,(C)昇+y；_处.(D)才+氐答：应选(A)。解析1:用配方法把二次型f化为39f—2兀‘+H兀3尸+(Q)兀］〜aa9
5、rha>3,•知a—>0.aV2Xjyja(x2+—x3)-a得且所用的线性变换是可逆的，因此选(A).解析2：二次型/的矩阵为(200'A=0a33a」7由A的特征多项式
6、A£—A
7、=(2—2)(2—ci—3)(A—a+3),可知A的特征值为入=a+3,4=a-3,又ci>3,故/的秩为3,正惯性指数也为3,所以/的规范形应为2。2X+处+*•因此应选(A).例6-5(2005(1))己知二次型1+d-a0y(Xj,x2,x3)=(1-g)彳+(1-a)xl+2xf+2(1+0)%1兀2的秩为2,所
8、以1-a1+d1+d1-a=—4。=0,得a=0的秩为2,(1)求Q的值；(2)求正交变换x=Qy；(3)求方程/(兀
9、,兀2,兀3)=0的解。解析：(1)由于二次型/的秩为2,对应的矩阵(-a1+6700、02丿(2)当d=0,-12-10=—2)2,A-1AE-A=-10可知A的特征值^1=22=2,/13=0对于特征值A=2,可得对应的线性无关的特征向量几=(1,1,0)7,〃2=(0,0，1)7・对于特征值入=0,可得对应的线性无关的特征向量73=(-1,1,0/.则7,“3两两正交将〃】
10、，％，〃3单位化,得(1,1,0)02=(0,0,11="7兀2=Q兀3丿」丿化为标准形/（壬,兀2，呂）=人才+人丈+入疋=2）彳+2）罗（4）解法1：在正交变换x=Qy下⑸/（兀1，兀2，屯）=0化为+2y；，解之得yx=y2=0,从而则Q是正交矩阵，且二次型/经正交变换(k为任意常数)例6-6(2005(1))设J为正定矩阵’其中^分别为/、兀1、（0、<0、兀2=Q0=(el9e2,e3)0」丿*=y^=k(-1,13.加阶，阶对称矩阵，C为mxn矩阵。（1）计算P5P,其中户=”I°-人弋、
11、&丿（2）利用（1）的结果判断矩阵B-CtA]C是否为正定矩阵，并证明你的结论。解析：（1）因为EmP1DP=O(AC(EmE.E“7O、B-CfiCxC}（2）矩阵B-C^C是正定矩阵。由（1）的结果可知，矩阵D合同于矩阵M=AO、OB-CA]C,又矩阵D是正定矩阵，可知矩阵M是正定矩阵。因矩阵M是对称矩阵，故B-CA-'C是对称矩阵。对X=（0,0,…,0）丁及任意的丫=（必，力，…，儿）。°，有（口厂(oVx",0B-CA-1C
